दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\ dy = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-4
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दिया है, $(x^2 - y^2)dx + 2xy\ dy =^0$
$\Rightarrow 2xy\ dy = (y^2 - x^2)dx$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{2 x y} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2} x^{2}-x^{2}}{2 x^{2} v} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}-1}{2 v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}-1}{2 v}-v $
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-1-v^{2}}{2 v}$
$\Rightarrow \frac{2 v}{v^{2}+1} d v=-\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर, $\int \frac{2 v}{v^{2}+1} d v+\int \frac{d x}{x}=0$
मान लीजिए $v^2 + 1 = t$
$\Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v}$
$\Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore \int \frac{2 v}{t} \times \frac{d t}{2 v}+\int \frac{d x}{x}=0$
$\Rightarrow \log |t| + \log |x| = \log C$
$\Rightarrow \log |(v^2 + 1)x| = \log C (\because t = 1 + v^2)$
$\Rightarrow \log \left[\left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right) x\right]=\log C$
$\Rightarrow \frac{y^{2}+x^{2}}{x}=C (\because v = \frac{y}{x})$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
$\Rightarrow 2xy\ dy = (y^2 - x^2)dx$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{2 x y} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2} x^{2}-x^{2}}{2 x^{2} v} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}-1}{2 v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}-1}{2 v}-v $
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-1-v^{2}}{2 v}$
$\Rightarrow \frac{2 v}{v^{2}+1} d v=-\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर, $\int \frac{2 v}{v^{2}+1} d v+\int \frac{d x}{x}=0$
मान लीजिए $v^2 + 1 = t$
$\Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v}$
$\Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore \int \frac{2 v}{t} \times \frac{d t}{2 v}+\int \frac{d x}{x}=0$
$\Rightarrow \log |t| + \log |x| = \log C$
$\Rightarrow \log |(v^2 + 1)x| = \log C (\because t = 1 + v^2)$
$\Rightarrow \log \left[\left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right) x\right]=\log C$
$\Rightarrow \frac{y^{2}+x^{2}}{x}=C (\because v = \frac{y}{x})$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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