बिंदु $(0, 2)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु के निर्देशांकों का योग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से $5$ अधिक है।
Exercise-9.6-17
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प्रश्नानुसार $, x+y=\frac{d y}{d x}+5$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} + (-1) y = x - 5 ...(i)$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P = -1$ तथा $Q = x - 5$ तथा $($समाकलन गुर्णांक$)\ IF = e^{\int P d x} $
$\Rightarrow IF = e^{\int(-1) d x} $
$\Rightarrow IF = e^{-x}$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C $
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=\int(x-5) e^{-x} d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=(x-5) \int e^{-x} d x -\int\left[\frac{d}{d x}(x-5) \cdot \int e^{-x} d x\right] d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x} = (x - 5)(-e^{-x}) - \int\left(-e^{-x}\right) d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x} = (5 - x)e^{-x} - e^{-x} + C ...(ii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 2)$ से होकर जाता है। अतः
$2 e^{-0} = (5 - 0)e^{-0} - e^0 + C $
$\Rightarrow 2 = 5 - 1 + C $
$\Rightarrow C = 2 - 4 = -2$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$e^{-x}y = (5 - x)e^{-x} - 2 $
$\Rightarrow y = 4 - x - 2e^x$
जोकि बक्र का अभीष्ट समीकरण है।
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} + (-1) y = x - 5 ...(i)$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P = -1$ तथा $Q = x - 5$ तथा $($समाकलन गुर्णांक$)\ IF = e^{\int P d x} $
$\Rightarrow IF = e^{\int(-1) d x} $
$\Rightarrow IF = e^{-x}$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C $
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=\int(x-5) e^{-x} d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=(x-5) \int e^{-x} d x -\int\left[\frac{d}{d x}(x-5) \cdot \int e^{-x} d x\right] d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x} = (x - 5)(-e^{-x}) - \int\left(-e^{-x}\right) d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x} = (5 - x)e^{-x} - e^{-x} + C ...(ii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 2)$ से होकर जाता है। अतः
$2 e^{-0} = (5 - 0)e^{-0} - e^0 + C $
$\Rightarrow 2 = 5 - 1 + C $
$\Rightarrow C = 2 - 4 = -2$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$e^{-x}y = (5 - x)e^{-x} - 2 $
$\Rightarrow y = 4 - x - 2e^x$
जोकि बक्र का अभीष्ट समीकरण है।
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