प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
Miscellaneous Exercise-5
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मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या $a$ हो, तो वृत्त का केंद्र $(a, a)$ होगा। अतः वृत्त का समीकरण
$(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 ...(i)$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x + 2yy' - 2a - 2ay' = 0$
$\Rightarrow x + yy' - a(1 + y') = 0$
$\Rightarrow a=\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}$
$a$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
$\left(x-\frac{x+y y}{1+y^{\prime}}\right)^{2}+\left(y-\frac{x+y y}{1+y^{\prime}}\right)^{2} $
$=\left(\frac{x+y y}{1+y^{\prime}}\right)^{2}$
$\Rightarrow (xy' - yy')^2 + (y - x)^2 = (x + yy')^2$
$\Rightarrow (x - y)^2(y')^2 + (x - y)^2 = (x + yy')^2$
$\Rightarrow (x - y)^2[1 + (y')^2] = (x + y')^2$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
$(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 ...(i)$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x + 2yy' - 2a - 2ay' = 0$
$\Rightarrow x + yy' - a(1 + y') = 0$
$\Rightarrow a=\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}$
$a$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
$\left(x-\frac{x+y y}{1+y^{\prime}}\right)^{2}+\left(y-\frac{x+y y}{1+y^{\prime}}\right)^{2} $
$=\left(\frac{x+y y}{1+y^{\prime}}\right)^{2}$
$\Rightarrow (xy' - yy')^2 + (y - x)^2 = (x + yy')^2$
$\Rightarrow (x - y)^2(y')^2 + (x - y)^2 = (x + yy')^2$
$\Rightarrow (x - y)^2[1 + (y')^2] = (x + y')^2$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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