अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} + 2y = x^2 \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-6
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दिया है $, x \frac{d y}{d x} + 2y = x^2log x$
$x$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$\frac{d y}{d x}+2 \frac{y}{x} = x \log x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P=\frac{2}{x}$ तथा $Q = x \log x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{2 J \frac{1}{x} d x}$
$\Rightarrow IF = e^2{\log |x|} = x^2$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C \Rightarrow x^{2} y=\int x^{2} \cdot x \log x d x+C$
$\Rightarrow {x^2}y = \int {\mathop {{x^3}}\limits_{\text{I}} } \mathop {\log x}\limits_{{\text{II}}} dx + C$
$\Rightarrow x^2y =\log x \cdot \int x^{3}-\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int x^{3} d x\right] d x+C$
खण्डशः समाकलन करने पर $\int {\mathop u\limits_{\text{I}} \cdot \mathop {vdx}\limits_{{\text{II}}} } = u \int v d x-\int\left[\frac{d}{d x}(u) \int v d x\right] d x$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4} -\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int x^{3} d x\right] d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4} -\int\left(\frac{1}{x} \times \frac{x^{4}}{4}\right) d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4} -\int \frac{x^{3}}{4} d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\frac{x^{4}}{4} \log x-\frac{x^{4}}{16}+C \Rightarrow y=\frac{x^{2}}{16}(4 \log x-1)+C x^{-2}$
$x$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$\frac{d y}{d x}+2 \frac{y}{x} = x \log x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P=\frac{2}{x}$ तथा $Q = x \log x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{2 J \frac{1}{x} d x}$
$\Rightarrow IF = e^2{\log |x|} = x^2$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C \Rightarrow x^{2} y=\int x^{2} \cdot x \log x d x+C$
$\Rightarrow {x^2}y = \int {\mathop {{x^3}}\limits_{\text{I}} } \mathop {\log x}\limits_{{\text{II}}} dx + C$
$\Rightarrow x^2y =\log x \cdot \int x^{3}-\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int x^{3} d x\right] d x+C$
खण्डशः समाकलन करने पर $\int {\mathop u\limits_{\text{I}} \cdot \mathop {vdx}\limits_{{\text{II}}} } = u \int v d x-\int\left[\frac{d}{d x}(u) \int v d x\right] d x$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4} -\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int x^{3} d x\right] d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4} -\int\left(\frac{1}{x} \times \frac{x^{4}}{4}\right) d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4} -\int \frac{x^{3}}{4} d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\frac{x^{4}}{4} \log x-\frac{x^{4}}{16}+C \Rightarrow y=\frac{x^{2}}{16}(4 \log x-1)+C x^{-2}$
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