दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y d x =\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x d y$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.5-7
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दिया है, $\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y d x =\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x d y$
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{y\left\{x \cos \frac{y}{x}+y \sin \frac{y}{x}\right\}}{x\left\{y \sin \frac{y}{x}-x \cos \frac{y}{x}\right\}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = bx$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
$\therefore v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x(x \cos v+v x \sin v)}{x(v x \sin v-x \cos v)} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v(\cos v+v \sin v)}{v \sin v-\cos v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v-v^{2} \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} $
$\Rightarrow\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=\frac{2}{x} d x$
$\Rightarrow \left(\tan v-\frac{1}{v}\right) d v=\frac{2}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int\left(\tan v-\frac{1}{v}\right) d v=\int \frac{2 d x}{x}$
$\Rightarrow\int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow -\log |\cos \cdot v| - \log |v| = 2 \log |x| + C$
$\Rightarrow \log |v \cos v| + 2 \log |x| = -C \ $
$(\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow \log[(v \cos v) x^2] = -C$
$\Rightarrow (v \cos v)x^2 = e^{-C} (\because log_ex = m) $
$\Rightarrow e^m = x)$
$\Rightarrow x^2v \cos v = A \ ($जहाँ $, A = e^{-C})$
$\Rightarrow x^{2} \frac{y}{x} \cos \frac{y}{x}=A\left(\because v=\frac{y}{x}\right)$
$\Rightarrow xy \cos \frac{y}{x} = A$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{y\left\{x \cos \frac{y}{x}+y \sin \frac{y}{x}\right\}}{x\left\{y \sin \frac{y}{x}-x \cos \frac{y}{x}\right\}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = bx$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
$\therefore v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x(x \cos v+v x \sin v)}{x(v x \sin v-x \cos v)} $
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v(\cos v+v \sin v)}{v \sin v-\cos v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v-v^{2} \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} $
$\Rightarrow\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=\frac{2}{x} d x$
$\Rightarrow \left(\tan v-\frac{1}{v}\right) d v=\frac{2}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int\left(\tan v-\frac{1}{v}\right) d v=\int \frac{2 d x}{x}$
$\Rightarrow\int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow -\log |\cos \cdot v| - \log |v| = 2 \log |x| + C$
$\Rightarrow \log |v \cos v| + 2 \log |x| = -C \ $
$(\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow \log[(v \cos v) x^2] = -C$
$\Rightarrow (v \cos v)x^2 = e^{-C} (\because log_ex = m) $
$\Rightarrow e^m = x)$
$\Rightarrow x^2v \cos v = A \ ($जहाँ $, A = e^{-C})$
$\Rightarrow x^{2} \frac{y}{x} \cos \frac{y}{x}=A\left(\because v=\frac{y}{x}\right)$
$\Rightarrow xy \cos \frac{y}{x} = A$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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