बिंदु (-1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y + z = 0 में से प्रत्येक पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-13
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बिंदु (-1, 3, 2) से होकर जाने वाला समतल का समीकरण निम्न है,
a[x - (-1)] + b(y - 3) + c(z - 2) = 0
या a(x + 1) + b(y - 3) + c(z - 2) = 0 ...(i)
समतल (i), समतल x + 2y + 3z = 5 के लंबवत् है।
$\therefore$ a $\cdot$ 1 + b $\cdot$ 2 + c $\cdot$ 3 = 0 $\Rightarrow$ a + 2b + 3c = 0 ...(ii)
पुनः समतल (i), समतल 3x + 3y + z = 0 के लंबवत् है।
a $\cdot$ 3 + b $\cdot$ 3 + c $\cdot$ 1 = 0 $\Rightarrow$ 3a + 3b + c = 0 ...(iii)
समी (ii) तथा (iii) के हल करने पर,
$\frac{a}{2 \times 1-3 \times 3}=\frac{b}{3 \times 3-1 \times 1}=\frac{c}{1 \times 3-2 \times 3} $ $\Rightarrow \frac{a}{-7}=\frac{b}{8}=\frac{c}{-3}=\lambda$
$\Rightarrow$ a = -7$\lambda$, b = 8$\lambda$, c = -3$\lambda$
a, b तथा c के मान समी (i) में रखने पर,
-7$\lambda$ (x + 1) + 8$\lambda$ (y - 3) - 3$\lambda$ (z - 2) = 0
$\Rightarrow$ (-7x - 7) + (8y - 24) - 3z + 6 = 0
$\Rightarrow$ -7x + 8y - 3z - 25 = 0
$\Rightarrow$ 7x - 8y + 3z + 25 = 0
अतः अभीष्ट समतल का समीकरण 7x - 8y + 3z + 25 = 0 है।
a[x - (-1)] + b(y - 3) + c(z - 2) = 0
या a(x + 1) + b(y - 3) + c(z - 2) = 0 ...(i)
समतल (i), समतल x + 2y + 3z = 5 के लंबवत् है।
$\therefore$ a $\cdot$ 1 + b $\cdot$ 2 + c $\cdot$ 3 = 0 $\Rightarrow$ a + 2b + 3c = 0 ...(ii)
पुनः समतल (i), समतल 3x + 3y + z = 0 के लंबवत् है।
a $\cdot$ 3 + b $\cdot$ 3 + c $\cdot$ 1 = 0 $\Rightarrow$ 3a + 3b + c = 0 ...(iii)
समी (ii) तथा (iii) के हल करने पर,
$\frac{a}{2 \times 1-3 \times 3}=\frac{b}{3 \times 3-1 \times 1}=\frac{c}{1 \times 3-2 \times 3} $ $\Rightarrow \frac{a}{-7}=\frac{b}{8}=\frac{c}{-3}=\lambda$
$\Rightarrow$ a = -7$\lambda$, b = 8$\lambda$, c = -3$\lambda$
a, b तथा c के मान समी (i) में रखने पर,
-7$\lambda$ (x + 1) + 8$\lambda$ (y - 3) - 3$\lambda$ (z - 2) = 0
$\Rightarrow$ (-7x - 7) + (8y - 24) - 3z + 6 = 0
$\Rightarrow$ -7x + 8y - 3z - 25 = 0
$\Rightarrow$ 7x - 8y + 3z + 25 = 0
अतः अभीष्ट समतल का समीकरण 7x - 8y + 3z + 25 = 0 है।
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