उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं A(3, 4, 1) और B(5, 1, 6) को मिलाने वाली रेखा XY-तल को काटती हैं।
example-30
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बिंदुओं A और B से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण:
$\vec{r}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}+\lambda[(5-3) \hat{i}$$+(1-4) \hat{j}+(6-1) \hat{k}]$
अर्थात् $\vec{r}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}+\lambda(2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})$ है ...(i)
मान लीजिए P वह बिंदु है जहाँ रेखा AB, XY-तल को प्रतिच्छेद करती है। तब बिंदु P का स्थिति सदिश $x \hat{i}+y \hat{j}$ के रूप में है।
यह बिंदु अवश्य ही समीकरण (i) को संतुष्ट करता है।
अर्थात् $x \hat{i}+y \hat{j}$ $=(3+2 \lambda) \hat{i}+(4-3 \lambda) \hat{j}+(1+5 \lambda) \hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$, के गुणांकों की तुलना करने पर हम पाते हैं
x = 3 + 2$\lambda$
y = 4 - 3$\lambda$
0 = 1 + 5$\lambda$
उपरोक्त समीकरणों को हल करने पर हम पाते हैं कि x = $\frac{13}{5}$ और y = $\frac{23}{5}$
अतः अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0\right)$ हैं।
$\vec{r}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}+\lambda[(5-3) \hat{i}$$+(1-4) \hat{j}+(6-1) \hat{k}]$
अर्थात् $\vec{r}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}+\lambda(2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})$ है ...(i)
मान लीजिए P वह बिंदु है जहाँ रेखा AB, XY-तल को प्रतिच्छेद करती है। तब बिंदु P का स्थिति सदिश $x \hat{i}+y \hat{j}$ के रूप में है।
यह बिंदु अवश्य ही समीकरण (i) को संतुष्ट करता है।
अर्थात् $x \hat{i}+y \hat{j}$ $=(3+2 \lambda) \hat{i}+(4-3 \lambda) \hat{j}+(1+5 \lambda) \hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$, के गुणांकों की तुलना करने पर हम पाते हैं
x = 3 + 2$\lambda$
y = 4 - 3$\lambda$
0 = 1 + 5$\lambda$
उपरोक्त समीकरणों को हल करने पर हम पाते हैं कि x = $\frac{13}{5}$ और y = $\frac{23}{5}$
अतः अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0\right)$ हैं।
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