उस समतल का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिंदु (5, 2, -4) से जाता है और 2, 3, -1 दिक्-अनुपात वाली रेखा पर लंब है।
example-17
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हम जानते हैं कि बिंदु (5, 2, -4) का स्थिति सदिश $\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ है और समतल के लंब का अभिलंब सदिश $\vec{\mathrm{N}}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ है।
इसलिए समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{N}$ = 0 से प्रदत्त है।
या $[\vec{r}-(5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k})] \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})$ = 0 ...(i)
(i) को कार्तीय रूप में रूपांतरण करने पर हम पाते हैं, कि
[(x - 5)$\hat{i}$ + (y - 2)$\hat{j}$ + (z + 4)$\hat{k}$] $\cdot$ (2$\hat{i}$ + 3$\hat{j}$ - $\hat{k}$) = 0
या 2(x - 5) + 3(y - 2) - 1(z + 4) = 0
अर्थात् 2x + 3y - z = 20
जो समतल का कार्तीय समीकरण है।
इसलिए समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{N}$ = 0 से प्रदत्त है।
या $[\vec{r}-(5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k})] \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})$ = 0 ...(i)
(i) को कार्तीय रूप में रूपांतरण करने पर हम पाते हैं, कि
[(x - 5)$\hat{i}$ + (y - 2)$\hat{j}$ + (z + 4)$\hat{k}$] $\cdot$ (2$\hat{i}$ + 3$\hat{j}$ - $\hat{k}$) = 0
या 2(x - 5) + 3(y - 2) - 1(z + 4) = 0
अर्थात् 2x + 3y - z = 20
जो समतल का कार्तीय समीकरण है।
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