मूल बिंदु से समतल $2x - 3y + 4z - 6 = 0$ पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
example-16
Download our app for free and get started
मान लीजिए मूल बिंदु से समतल पद डाले गए लंब के पाद $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ है $($आकृति$)$। तब रेखा $OP$ के दिक्$-$अनुपात $x_1, y_1, z_1$ हैं।
समतल की समीकरण को अभिलंब के रूप में लिखने पर हम पाते हैं कि $\frac{2}{\sqrt{29}} x-\frac{3}{\sqrt{29}} y+\frac{4}{\sqrt{29}} z=\frac{6}{\sqrt{29}}$
जहाँ $OP$ के दिक्$-$अनुपात $\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}$ हैं।
क्योंकि एक रेखा के दिक्$-$कोसाइन और दिक्$-$अनुपात समानुपाती होते हैं। अतः
$\frac{x_{1}}{\frac{2}{\sqrt{29}}}=\frac{y_{1}}{\frac{-3}{\sqrt{29}}}=\frac{z_{1}}{\frac{4}{\sqrt{29}}}=k$
अर्थात् $x_{1}=\frac{2 k}{\sqrt{29}}, y_{1}=\frac{-3 k}{\sqrt{29}}, z_{1}=\frac{4 k}{\sqrt{29}}$
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि $k = \frac{6}{\sqrt{29}}$ अतः लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{12}{29}, \frac{-18}{29}, \frac{24}{29}\right)$ है।
समतल की समीकरण को अभिलंब के रूप में लिखने पर हम पाते हैं कि $\frac{2}{\sqrt{29}} x-\frac{3}{\sqrt{29}} y+\frac{4}{\sqrt{29}} z=\frac{6}{\sqrt{29}}$
जहाँ $OP$ के दिक्$-$अनुपात $\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}$ हैं।
क्योंकि एक रेखा के दिक्$-$कोसाइन और दिक्$-$अनुपात समानुपाती होते हैं। अतः
$\frac{x_{1}}{\frac{2}{\sqrt{29}}}=\frac{y_{1}}{\frac{-3}{\sqrt{29}}}=\frac{z_{1}}{\frac{4}{\sqrt{29}}}=k$
अर्थात् $x_{1}=\frac{2 k}{\sqrt{29}}, y_{1}=\frac{-3 k}{\sqrt{29}}, z_{1}=\frac{4 k}{\sqrt{29}}$
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि $k = \frac{6}{\sqrt{29}}$ अतः लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{12}{29}, \frac{-18}{29}, \frac{24}{29}\right)$ है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1रेखाओं l_1 और l_2 के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण है: $\vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) ...(i)$ और $\vec{r}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(ii)$View Solution
- 2बिंदु (5, 2, -4) से जाने वाली तथा सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ के समांतर रेखा का सदिश तथा कार्तीय समीकरणों को ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3View Solutionउस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं A(3, 4, 1) और B(5, 1, 6) को मिलाने वाली रेखा XY-तल को काटती हैं।
- 4समतल $\vec{r} \cdot(6 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k})$ + 1 = 0 पर मूल बिंदु से डाले गए लंब इकाई सदिश की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् $-$ कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु $(3, 5, -4), (-1, 1, 2)$ और $(-5, -5, -2)$ हैं।View Solution
- 6View Solutionउस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
- 7समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ = 1 और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})$ + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = -5,$ के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु $(1, 1, 1)$ से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9एक रेखा, एक घन के विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta,$ कोण बनाती है तो सिद्ध कीजिए कि $\cos^2 \alpha + \cos^2\beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{4}{3}$View Solution
- 10रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$View Solution