एक रेखा, एक घन के विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta,$ कोण बनाती है तो सिद्ध कीजिए कि $\cos^2 \alpha + \cos^2\beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{4}{3}$
example-26
Download our app for free and get started
एक घन, एक समकोणिक षट्फलकीय होता है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई समान होते हैं।
मान लीजिए कि $\text{OADBEFCG}$ एक घन जिसकी प्रत्येक भुजा a लंबाई की है $($आकृति$)$।
$OE, AF, BG$ और $CD$ चार विकर्ण हैं।
दो बिंदुओं $O$ तथा $E$ को मिलाने वाली रेखा $OE$ अर्थात् विकर्ण $OE$ के दिक्-कोसाइन
$\frac{a-0}{\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}}, $$\frac{a-0}{\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}},$
$\frac{a-0}{\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}}$
अर्थात् $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं। इसी प्रकार $AF, BG$ और $CD$ की दिक् $-$ कोसाइन क्रमशः $-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} ; \frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},$ हैं।
मान लीजिए दी गई रेखा जो $OE, AF, BG$, और $CD,$ के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma,$ और $\delta$ कोण बनाती है, की दिक् $-$ कोसाइन $l, m, n$ हैं।
तब $ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{3}} \ (l + m + n); \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}} (-l + m + n); \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}} (l - m + n); \cos \delta=\frac{1}{\sqrt{3}} (l + m - n)$
वर्ग करके जोडने पर हम पाते हैं कि $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma + \cos^2\delta
= \frac{1}{3} $$[(l + m + n)^2 + (-l + m + n)^2] + (l - m + n)^2 + (l + m - n)^2
= \frac{1}{3} [4(l^2 + m^2 + n^2)] = \frac{4}{3}$
$($क्योंकि $l^{2 }+ m^{2 }+ n^2= 1)$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1रेखाओं l_1 और l_2 के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण है: $\vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) ...(i)$ और $\vec{r}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) ...(ii)$View Solution
- 2View Solutionउस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं A(3, 4, 1) और B(5, 1, 6) को मिलाने वाली रेखा XY-तल को काटती हैं।
- 3View Solutionबिंदु (-1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y + z = 0 में से प्रत्येक पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
- 4समतल $\vec{r} \cdot(6 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k})$ + 1 = 0 पर मूल बिंदु से डाले गए लंब इकाई सदिश की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ = 1 और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})$ + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6View Solutionउस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
- 7मूल बिंदु से समतल $2x - 3y + 4z - 6 = 0$ पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ - 4 = 0 और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ + 8 = 0 के लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = -5,$ के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु $(1, 1, 1)$ से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् $-$ कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु $(3, 5, -4), (-1, 1, 2)$ और $(-5, -5, -2)$ हैं।View Solution