रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$
Exercise-11.2-16
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दी गई रेखाएँ निम्न हैं $\vec{r}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}+\lambda(\hat{{i}}-3 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ तथा $\vec{r}=4 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}+\mu(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+\hat{{k}})$
हम जानते हैं कि रेखाओं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ तथा $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|$ होती है।
दिए. गए समीकरण की तुलना $r = a_1 + \lambda b_1 $तथा $r = a_2 +\mu b_2 $से करने पर,
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}, \vec{b}_{1}=\hat{{i}}-3 \hat{{j}}+2 \hat{{k}} $ तथा $\vec{a}_{2}=4 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}, {b}_{2}$
$=2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+\hat{{k}} $
अब, $\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}}$
$= (4 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})-(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$
$=3 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
$\therefore \vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$
$=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right| $
$= \hat{i} (-3 - 6) - \hat{j} (1 - 4) + \hat{k} (3 + 6) $
$= -9 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+9 \hat{{k}}$
$\Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|$
$=\sqrt{(-9)^{2}+(3)^{2}+(9)^{2}}$
$=\sqrt{81+9+81}$
$=\sqrt{171}$
$=3 \sqrt{19}$
$\therefore$ अभीष्ट न्यूनतम दूरी
$d = \left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|$
$=\frac{|(-9 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+9 \hat{{k}}) \cdot(3 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})|}{3 \sqrt{19}} $
$=\frac{|-9 \times 3+3 \times 3+9 \times 3|}{3 \sqrt{19}}$
$=\frac{-27+9+27}{3 \sqrt{19}}$
$=\frac{9}{3 \sqrt{19}}$
$=\frac{3}{\sqrt{19}}$
अतः दी गई दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3}{\sqrt{19}}$ इकाई है।
हम जानते हैं कि रेखाओं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ तथा $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|$ होती है।
दिए. गए समीकरण की तुलना $r = a_1 + \lambda b_1 $तथा $r = a_2 +\mu b_2 $से करने पर,
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}, \vec{b}_{1}=\hat{{i}}-3 \hat{{j}}+2 \hat{{k}} $ तथा $\vec{a}_{2}=4 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}, {b}_{2}$
$=2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+\hat{{k}} $
अब, $\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}}$
$= (4 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})-(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$
$=3 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
$\therefore \vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$
$=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right| $
$= \hat{i} (-3 - 6) - \hat{j} (1 - 4) + \hat{k} (3 + 6) $
$= -9 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+9 \hat{{k}}$
$\Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|$
$=\sqrt{(-9)^{2}+(3)^{2}+(9)^{2}}$
$=\sqrt{81+9+81}$
$=\sqrt{171}$
$=3 \sqrt{19}$
$\therefore$ अभीष्ट न्यूनतम दूरी
$d = \left|\frac{\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right) \cdot\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|$
$=\frac{|(-9 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+9 \hat{{k}}) \cdot(3 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})|}{3 \sqrt{19}} $
$=\frac{|-9 \times 3+3 \times 3+9 \times 3|}{3 \sqrt{19}}$
$=\frac{-27+9+27}{3 \sqrt{19}}$
$=\frac{9}{3 \sqrt{19}}$
$=\frac{3}{\sqrt{19}}$
अतः दी गई दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3}{\sqrt{19}}$ इकाई है।
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