एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् $-$ कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु $(3, 5, -4), (-1, 1, 2)$ और $(-5, -5, -2)$ हैं।
Exercise-11.1-5
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माना त्रिभुज के शीर्ष बिंदु क्रमशः $A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2)$ तथा $C(-5, -5, -2)$ हैं।
भुजा $AB$ के दिक् अनुपात निम्न हैं, $[-1 - 3, 1 - 5, 2 - (-4)] = (-4, -4, 2 + 4)$ अर्थात् $(-4, -4, 6) [\because$ यदि बिंदु $A(x_1, y_1, z_1)$ तथा $B(x_2, y_2, z_2)$ हैं, तो रेखा $AB$ का दिक् अनुपात $= (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)]$
$AB$ का परिमाण,
$|AB| = \sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}+(6)^{2}}$
$=\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}$
अतः $AB$ की दिक् $-$ कोसाइन निम्न हैं,
$\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{6}{2 \sqrt{17}}$
$\Rightarrow \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}} [\because$ यदि $a, b,$ व $c$ क्रमशः दिक अनुपात हैं,$]$
तो दिक्-कोसाइन निम्न होंगी $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}]$
इसी प्रकार, $BC$ भुजा के दिक् अनुषात निम्न हैं, $[-5 - (-1)], (-5 - 1)$ तथा $(-2 - 2)$ अर्थात् $(-4, -6, -4)]$
$BC$ का परिमाण, $|BC| = \sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}$
अतः $BC$ की दिक् $-$ कोसाइन निम्न हैं,
$\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-6}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}} \Rightarrow \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}$
भुजा $CA$ के दिक् अनुपात निम्न हैं, $(-5 -3), (-5 -5)$ तथा $[-2 - (-4)] $अथीत् $(-8, -10, 2)$ या $(8, 10, -2)$
$|CA| = \sqrt{(-8)^{2}+(-10)^{2}+(2)^{2}}$
$=\sqrt{64+100+4}=\sqrt{168}=2 \sqrt{42}$
$AC$ की दिक् $-$ कोसाइन निम्न हैं, $\frac{8}{2 \sqrt{42}}, \frac{10}{2 \sqrt{42}}, \frac{-2}{2 \sqrt{42}} \Rightarrow \frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}$
भुजा $AB$ के दिक् अनुपात निम्न हैं, $[-1 - 3, 1 - 5, 2 - (-4)] = (-4, -4, 2 + 4)$ अर्थात् $(-4, -4, 6) [\because$ यदि बिंदु $A(x_1, y_1, z_1)$ तथा $B(x_2, y_2, z_2)$ हैं, तो रेखा $AB$ का दिक् अनुपात $= (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)]$
$AB$ का परिमाण,
$|AB| = \sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}+(6)^{2}}$
$=\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}$
अतः $AB$ की दिक् $-$ कोसाइन निम्न हैं,
$\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{6}{2 \sqrt{17}}$
$\Rightarrow \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}} [\because$ यदि $a, b,$ व $c$ क्रमशः दिक अनुपात हैं,$]$
तो दिक्-कोसाइन निम्न होंगी $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}]$
इसी प्रकार, $BC$ भुजा के दिक् अनुषात निम्न हैं, $[-5 - (-1)], (-5 - 1)$ तथा $(-2 - 2)$ अर्थात् $(-4, -6, -4)]$
$BC$ का परिमाण, $|BC| = \sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}$
अतः $BC$ की दिक् $-$ कोसाइन निम्न हैं,
$\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-6}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}} \Rightarrow \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}$
भुजा $CA$ के दिक् अनुपात निम्न हैं, $(-5 -3), (-5 -5)$ तथा $[-2 - (-4)] $अथीत् $(-8, -10, 2)$ या $(8, 10, -2)$
$|CA| = \sqrt{(-8)^{2}+(-10)^{2}+(2)^{2}}$
$=\sqrt{64+100+4}=\sqrt{168}=2 \sqrt{42}$
$AC$ की दिक् $-$ कोसाइन निम्न हैं, $\frac{8}{2 \sqrt{42}}, \frac{10}{2 \sqrt{42}}, \frac{-2}{2 \sqrt{42}} \Rightarrow \frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}$
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