रेखाओं $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.2-15
Download our app for free and get started
दी गई रेखाएँ निम्न हैं,
$\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ तथा $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$
पहली रेखा के दिक् अनुपात (7, -6, 1) तथा यह बिंदु (-1, -1, -1) से होकर जाती है। अतः दी गई रेखा का सदिश समीकरण निम्न है,
$\Rightarrow$ $\vec{r}_{1}=-\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}+\lambda(7 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+\hat{{k}})$
इसी प्रकार दूसरी रेखा का सदिश समीकरण निम्न है,
$\vec{r}_{2}=3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+7 \hat{{k}}+\mu(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+\hat{{k}}) $
जो कि समीकरण $\vec{r_{1}}=\vec{a_{1}}+\lambda \vec{b_{1}}$ तथा $\vec{r_{2}}=\vec{a_{2}}+\mu \vec{b_{2}}$ के रूप में हैं।
जहाँ, $\vec{a}_{1}=-\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{1}=7 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+\hat{{k}}$
तथा $\vec{a}_{2}=3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+7 \hat{{k}}, \vec{b}_{2}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+\hat{{k}}$
अब, $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ = $(3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})-(-\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})=4 \hat{{i}}+6 \hat{{j}}+8 \hat{{k}}$
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|$
= $\hat{i}$ (-6 + 2) - $\hat{j}$ (7 - 1) + $\hat{k}$ (-14 + 6) = -4$\hat{i}$ - 6$\hat{j}$ - 8$\hat{k}$
$\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}+(-8)^{2}}$$=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=2 \sqrt{29}$
$\therefore$ दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी d निम्न है,
d = $\left|\frac{\left(\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right) \cdot\left(\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}\right)}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}\right|=\frac{|(-4 \hat{\mathrm{i}}-6 \hat{\mathbf{j}}-8 \hat{\mathrm{k}}) \cdot(4 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathbf{j}}+8 \hat{\mathrm{k}})|}{2 \sqrt{29}}$
$=\frac{|(-4) \times 4+(-6) \times 6+(-8) \times 8|}{2 \sqrt{29}}$$=\frac{|-16-36-64|}{2 \sqrt{29}}$
$=\frac{116}{2 \sqrt{29}}=\frac{58}{\sqrt{29}}=2 \sqrt{29}$ इकाई
$\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ तथा $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$
पहली रेखा के दिक् अनुपात (7, -6, 1) तथा यह बिंदु (-1, -1, -1) से होकर जाती है। अतः दी गई रेखा का सदिश समीकरण निम्न है,
$\Rightarrow$ $\vec{r}_{1}=-\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}+\lambda(7 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+\hat{{k}})$
इसी प्रकार दूसरी रेखा का सदिश समीकरण निम्न है,
$\vec{r}_{2}=3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+7 \hat{{k}}+\mu(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+\hat{{k}}) $
जो कि समीकरण $\vec{r_{1}}=\vec{a_{1}}+\lambda \vec{b_{1}}$ तथा $\vec{r_{2}}=\vec{a_{2}}+\mu \vec{b_{2}}$ के रूप में हैं।
जहाँ, $\vec{a}_{1}=-\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{1}=7 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+\hat{{k}}$
तथा $\vec{a}_{2}=3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+7 \hat{{k}}, \vec{b}_{2}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+\hat{{k}}$
अब, $\vec{a_2} - \vec{a_1}$ = $(3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})-(-\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})=4 \hat{{i}}+6 \hat{{j}}+8 \hat{{k}}$
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|$
= $\hat{i}$ (-6 + 2) - $\hat{j}$ (7 - 1) + $\hat{k}$ (-14 + 6) = -4$\hat{i}$ - 6$\hat{j}$ - 8$\hat{k}$
$\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}+(-8)^{2}}$$=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=2 \sqrt{29}$
$\therefore$ दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी d निम्न है,
d = $\left|\frac{\left(\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right) \cdot\left(\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}\right)}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}\right|=\frac{|(-4 \hat{\mathrm{i}}-6 \hat{\mathbf{j}}-8 \hat{\mathrm{k}}) \cdot(4 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathbf{j}}+8 \hat{\mathrm{k}})|}{2 \sqrt{29}}$
$=\frac{|(-4) \times 4+(-6) \times 6+(-8) \times 8|}{2 \sqrt{29}}$$=\frac{|-16-36-64|}{2 \sqrt{29}}$
$=\frac{116}{2 \sqrt{29}}=\frac{58}{\sqrt{29}}=2 \sqrt{29}$ इकाई
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$View Solution
- 2View Solutionउस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं A(3, 4, 1) और B(5, 1, 6) को मिलाने वाली रेखा XY-तल को काटती हैं।
- 3बिंदु (5, 2, -4) से जाने वाली तथा सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ के समांतर रेखा का सदिश तथा कार्तीय समीकरणों को ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4एक रेखा, एक घन के विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta,$ कोण बनाती है तो सिद्ध कीजिए कि $\cos^2 \alpha + \cos^2\beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{4}{3}$View Solution
- 5उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ = 7, $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})$ = 9 के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।View Solution
- 6मूल बिंदु से समतल $2x - 3y + 4z - 6 = 0$ पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7समतल $\vec{r} \cdot(6 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k})$ + 1 = 0 पर मूल बिंदु से डाले गए लंब इकाई सदिश की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = -5,$ के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु $(1, 1, 1)$ से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ - 4 = 0 और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ + 8 = 0 के लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10View Solutionउस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।