समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ = 1 और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})$ + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-15
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दिए गए समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ = 1 तथा $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})$ + 4 = 0 हैं।
दिए गए समतलों के प्रतिच्छेद समतल का समीकरण निम्न है
$[\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1]+\lambda$$[r \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4]=0$
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot[(2 \lambda+1) \hat{{i}}+(3 \lambda+1) \hat{{j}}$$+(1-\lambda) \hat{{k}}]+(4 \lambda-1)=0$ ...(i)
इस समतल के दिक् अनुपात (2$\lambda$ + 1), (3$\lambda$ + 1) तथा (1 - $\lambda$) हैं।
चूँकि अभीष्ट समतल X-अक्ष के समांतर है, अतः समतल का अभिलंब x-अक्ष के लंबवत् है।
$\therefore$ x-अक्ष के दिक् अनुपात 1, 0 तथा 0 हैं।
$\therefore$ 1(2$\lambda$ + 1) + 0(3$\lambda$ + 1) + 0(1 - $\lambda$) = 0
$\Rightarrow$ 2$\lambda$ + 1 = 0 $\Rightarrow \lambda=-\frac{1}{2}$
$\lambda$ का मान समी (i) में रखने पर,
$\vec{r} \cdot\left(-\frac{1}{2} \hat{{j}}+\frac{3}{2} \hat{{k}}\right)$ + (-3) = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot(\hat{{j}}-3 \hat{{k}})$ + 6 = 0
अतः समतल का कार्तीय समीकरण y - 3z + 6 = 0 है $(\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ रखने पर) जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है।
दिए गए समतलों के प्रतिच्छेद समतल का समीकरण निम्न है
$[\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1]+\lambda$$[r \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4]=0$
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot[(2 \lambda+1) \hat{{i}}+(3 \lambda+1) \hat{{j}}$$+(1-\lambda) \hat{{k}}]+(4 \lambda-1)=0$ ...(i)
इस समतल के दिक् अनुपात (2$\lambda$ + 1), (3$\lambda$ + 1) तथा (1 - $\lambda$) हैं।
चूँकि अभीष्ट समतल X-अक्ष के समांतर है, अतः समतल का अभिलंब x-अक्ष के लंबवत् है।
$\therefore$ x-अक्ष के दिक् अनुपात 1, 0 तथा 0 हैं।
$\therefore$ 1(2$\lambda$ + 1) + 0(3$\lambda$ + 1) + 0(1 - $\lambda$) = 0
$\Rightarrow$ 2$\lambda$ + 1 = 0 $\Rightarrow \lambda=-\frac{1}{2}$
$\lambda$ का मान समी (i) में रखने पर,
$\vec{r} \cdot\left(-\frac{1}{2} \hat{{j}}+\frac{3}{2} \hat{{k}}\right)$ + (-3) = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot(\hat{{j}}-3 \hat{{k}})$ + 6 = 0
अतः समतल का कार्तीय समीकरण y - 3z + 6 = 0 है $(\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ रखने पर) जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है।
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