समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = -5,$ के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु $(1, 1, 1)$ से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
example-20
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यहाँ $\vec{n}_{1}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{n}_{2}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $d_{1 }= 6$ और $d_{2 }= -5$ हैं। इसलिए सूत्र $\vec{r} \cdot\left(\vec{n}_{1}+\lambda \vec{n}_{2}\right)=d_{1}+\lambda d_{2}$ का प्रयोग करने पर,
$\vec{r} \cdot[\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})]=6-5 \lambda$
या $\vec{r} \cdot[(1+2 \lambda) \hat{i}+(1+3 \lambda) \hat{j}+(1+4 \lambda)] \hat{k} = 6-5 \lambda ...(i)$
जहाँ $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है।
$\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k},$ रखने पर हम पाते हैं कि
$(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot[(1+2 \lambda) \hat{i} + (1+3 \lambda) \hat{j}+(1+4 \lambda) \hat{k}]=6-5 \lambda$
या $(1 + 2\lambda) x + (1 + 3\lambda) y + (1 + 4\lambda) z = 6 - 5\lambda$
या $(x + y + z - 6) + \lambda (2x + 3y + 4z + 5) = 0 ...(ii)$
अब प्रश्नानुसार अभीष्ट समतल बिंदु $(1, 1, 1)$ से जाता है, अतः यह बिंदु, $(ii)$ को संतुष्ट करेगा अर्थात्
$(1 + 1 + 1 - 6) + \lambda (2 + 3 + 4 + 5) = 0$
या $ \lambda=\frac{3}{14}$
$\lambda$ के इस मान को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं, कि
$\vec{r} \cdot\left[\left(1+\frac{3}{7}\right) \hat{i}+\left(1+\frac{9}{14}\right) \hat{j}+\left(1+\frac{6}{7}\right) \hat{k}\right] = 6-\frac{15}{14}$
या $\vec{r} \cdot\left(\frac{10}{7} \hat{i}+\frac{23}{14} \hat{j}+\frac{13}{7} \hat{k}\right)=\frac{69}{14}$
या $\vec{r} \cdot(20 \hat{i}+23 \hat{j}+26 \hat{k}) = 69$
जो समतल का अभीष्ट सदिश समीकरण है।
$\vec{r} \cdot[\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})]=6-5 \lambda$
या $\vec{r} \cdot[(1+2 \lambda) \hat{i}+(1+3 \lambda) \hat{j}+(1+4 \lambda)] \hat{k} = 6-5 \lambda ...(i)$
जहाँ $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है।
$\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k},$ रखने पर हम पाते हैं कि
$(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot[(1+2 \lambda) \hat{i} + (1+3 \lambda) \hat{j}+(1+4 \lambda) \hat{k}]=6-5 \lambda$
या $(1 + 2\lambda) x + (1 + 3\lambda) y + (1 + 4\lambda) z = 6 - 5\lambda$
या $(x + y + z - 6) + \lambda (2x + 3y + 4z + 5) = 0 ...(ii)$
अब प्रश्नानुसार अभीष्ट समतल बिंदु $(1, 1, 1)$ से जाता है, अतः यह बिंदु, $(ii)$ को संतुष्ट करेगा अर्थात्
$(1 + 1 + 1 - 6) + \lambda (2 + 3 + 4 + 5) = 0$
या $ \lambda=\frac{3}{14}$
$\lambda$ के इस मान को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं, कि
$\vec{r} \cdot\left[\left(1+\frac{3}{7}\right) \hat{i}+\left(1+\frac{9}{14}\right) \hat{j}+\left(1+\frac{6}{7}\right) \hat{k}\right] = 6-\frac{15}{14}$
या $\vec{r} \cdot\left(\frac{10}{7} \hat{i}+\frac{23}{14} \hat{j}+\frac{13}{7} \hat{k}\right)=\frac{69}{14}$
या $\vec{r} \cdot(20 \hat{i}+23 \hat{j}+26 \hat{k}) = 69$
जो समतल का अभीष्ट सदिश समीकरण है।
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