बिंदु (-1, -5, -10) से रेखा $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ $+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ = 5 के प्रतिच्छेदन बिंदु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-18
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दी गई रेखा का समीकरण निम्न है, $\vec{r}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$$+\lambda(3 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ ...(i)
तथा समतल का समीकरण निम्न है, $\vec{r} \cdot(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = 5 ...(ii)
समी (i) तथा (ii) के प्रतिच्छेद बिंदु के लिए
$[2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}+\lambda(3 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})]$ $\cdot(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = 5
$\Rightarrow$ 2 + 1 + 2 + $\lambda$ (3 - 4 + 2) = 5
$\Rightarrow$ 5 + $\lambda$ = 5
$\Rightarrow$ $\lambda$ = 0
$\lambda$ = 0 समी (i) में रखने पर,
$\vec{r}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
तथा $\vec{r}$ बिंदु (2, -1, 2) का स्थिति सदिश है।
बिंदुओं (-1, -5, -10) तथा (2, -1, 2) के बीच की दूरी
$=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-5+1)^{2}+(-10-2)^{2}}$
$=\sqrt{9+16+144}$
$=\sqrt{169}=13$ इकाई
तथा समतल का समीकरण निम्न है, $\vec{r} \cdot(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = 5 ...(ii)
समी (i) तथा (ii) के प्रतिच्छेद बिंदु के लिए
$[2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}+\lambda(3 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})]$ $\cdot(\hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = 5
$\Rightarrow$ 2 + 1 + 2 + $\lambda$ (3 - 4 + 2) = 5
$\Rightarrow$ 5 + $\lambda$ = 5
$\Rightarrow$ $\lambda$ = 0
$\lambda$ = 0 समी (i) में रखने पर,
$\vec{r}=2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
तथा $\vec{r}$ बिंदु (2, -1, 2) का स्थिति सदिश है।
बिंदुओं (-1, -5, -10) तथा (2, -1, 2) के बीच की दूरी
$=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-5+1)^{2}+(-10-2)^{2}}$
$=\sqrt{9+16+144}$
$=\sqrt{169}=13$ इकाई
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