रेखाएँ, जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम ज्ञात कीजिए$: \vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$ और $\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$
Exercise-11.2-17
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दी गई रेखाओं के समीकरण को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता हैं,
$\vec{r}=(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+t(-\hat{{i}}+\hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ तथा $\vec{r}=(\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})+s(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$
उपरोक्त समीकरणों की तुलना $\vec{r}=\vec{a}_{1}+t \vec{b}_{1}$ तथा $\vec{r}=\vec{a}_{2}+s \vec{b}_{2}$ से करने पर,
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}, \vec{b}_{1}=-\hat{{i}}+\hat{{j}}-2 \hat{{k}}$ तथा $a_2 = \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{2}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
अब, $a_2 - a_1 = (\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})-(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})=\hat{{j}}-4 \hat{{k}}$
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right| = (-2 + 4)\hat{i} - (2 + 2)\hat{j} + (-2 - 1)\hat{k}$
$=2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$
$ \Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(2)^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}$
$=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$
$\therefore$ अभीष्ट न्यूनतम दूरी,
$d = \left|\frac{\left(\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right) \cdot\left(\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}\right)}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}\right|$
$=\frac{\mid(2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}) \cdot(\hat{{j}}-4 \hat{{k}})}{\sqrt{29}}$
$=\frac{|-4+12|}{\sqrt{29}}$
$=\frac{8}{\sqrt{29}}$
$\vec{r}=(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+t(-\hat{{i}}+\hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ तथा $\vec{r}=(\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})+s(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$
उपरोक्त समीकरणों की तुलना $\vec{r}=\vec{a}_{1}+t \vec{b}_{1}$ तथा $\vec{r}=\vec{a}_{2}+s \vec{b}_{2}$ से करने पर,
$\vec{a}_{1}=\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}, \vec{b}_{1}=-\hat{{i}}+\hat{{j}}-2 \hat{{k}}$ तथा $a_2 = \hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}}, \vec{b}_{2}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
अब, $a_2 - a_1 = (\hat{{i}}-\hat{{j}}-\hat{{k}})-(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})=\hat{{j}}-4 \hat{{k}}$
तथा $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right| = (-2 + 4)\hat{i} - (2 + 2)\hat{j} + (-2 - 1)\hat{k}$
$=2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$
$ \Rightarrow \left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(2)^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}$
$=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$
$\therefore$ अभीष्ट न्यूनतम दूरी,
$d = \left|\frac{\left(\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right) \cdot\left(\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}\right)}{\left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|}\right|$
$=\frac{\mid(2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}) \cdot(\hat{{j}}-4 \hat{{k}})}{\sqrt{29}}$
$=\frac{|-4+12|}{\sqrt{29}}$
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