दो समतलों $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ के बीच का कोण सदिश विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
example-22
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दो समतलों के बीच का कोण वही है जो उनके अभिलंबों के बीच का कोण है। समतलों के दिए गए समीकरणों से समतलों के सदिश अभिलंब $\vec{\mathrm{N}}_{1}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\vec{\mathrm{N}}_{2}=3 \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
इसलिए $\cos\theta$ = $\left|\frac{\vec{\mathrm{N}}_{1} \cdot \vec{\mathrm{N}}_{2}}{\left|\vec{\mathrm{N}}_{1}\right|\left|\vec{\mathrm{N}}_{2}\right|}\right|=\left|\frac{(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k})}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{9+36+4}}\right|=\left(\frac{4}{21}\right)$
अतः $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$
इसलिए $\cos\theta$ = $\left|\frac{\vec{\mathrm{N}}_{1} \cdot \vec{\mathrm{N}}_{2}}{\left|\vec{\mathrm{N}}_{1}\right|\left|\vec{\mathrm{N}}_{2}\right|}\right|=\left|\frac{(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k})}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{9+36+4}}\right|=\left(\frac{4}{21}\right)$
अतः $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$
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