यदि एक समतल के अंतःखंड a, b, c हैं और इसकी मूल बिंदु से दूरी p इकाई हैं तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}$
Miscellaneous Exercise-21
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अक्षों से क्रमशः a, b तथा c अंतःखंड काटने वाले समतल का समीकरण निम्न है
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $
$\Rightarrow\left(\frac{1}{a}\right) x+\left(\frac{1}{b}\right) y+\left(\frac{1}{c}\right)$ z - 1 = 0
दिया है, समतल की मूलबिंदु से दूरी p है।
$\therefore p=\frac{\left|\frac{1}{a} \cdot 0+\frac{1}{b} \cdot 0+\frac{1}{c} \cdot 0-1\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(\frac{1}{c}\right)^{2}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{p}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}$
दोनों ओर का वर्ग करने पर, $\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $
$\Rightarrow\left(\frac{1}{a}\right) x+\left(\frac{1}{b}\right) y+\left(\frac{1}{c}\right)$ z - 1 = 0
दिया है, समतल की मूलबिंदु से दूरी p है।
$\therefore p=\frac{\left|\frac{1}{a} \cdot 0+\frac{1}{b} \cdot 0+\frac{1}{c} \cdot 0-1\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(\frac{1}{c}\right)^{2}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{p}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}$
दोनों ओर का वर्ग करने पर, $\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$
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