बिंदु $(1, 2, 3)$ से जाने वाली तथा समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-19
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माना अभीष्ट रेखा का समीकरण सदिश $\vec{b}=\mathrm{b}_{1} \hat{{i}}+\mathrm{b}_{2} \hat{{j}}+\mathrm{b}_{3} \hat{{k}}$ के समांतर है। बिंदु $(1, 2, 3)$ का स्थित सदिश $\vec{a}=\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$ है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर जाने वाली तथा सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है,
$\vec{r}= \vec{a} + \lambda\vec{b}$
$\therefore \vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+\lambda\left(\mathrm{b}_{1} \hat{{i}}+\mathrm{b}_{2} \hat{{j}}+\mathrm{b}_{3} \hat{{k}}\right) ...(i)$
दिए गए समतल के समीकरण निम्न है,
$\vec{r}(\hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}) = 5 ...(i$i)
तथा $\vec{r} \cdot(3 \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) = 6 ...(iii)$
चूँकि रेखा $(i)$ तथा समतल $(ii)$ समांतर है, अतः रेखा $(i)$ समतल के अभिलंब के लंबवत् होगी।
$\therefore (\hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}) \cdot \lambda\left(b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}\right) = 0$
$\Rightarrow \lambda(b_1 + b_2 + 2b_3) = 0 \Rightarrow (b_1 - b_2 + 2b_3) = 0 ...(iv)$
इसी प्रकार, $(3 \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \lambda\left(b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}\right) = 0$
$\Rightarrow \lambda(3b_1 + b_2 + b_3) = 0 \Rightarrow 3b_1 + b_2 + b_3 = 0 ...(v)$
समी $(iv)$ तथा $(v)$ से,
$\frac{b_{1}}{(-1) \times 1-1 \times 2}=\frac{b_{2}}{2 \times 3-1 \times 1}=\frac{b_{3}}{1 \times 1-3(-1)} \Rightarrow \frac{b_{1}}{-3}=\frac{b_{2}}{5}=\frac{b_{3}}{4} $
$\vec{b}$ के दिक् अनुपात $-3, 5$ तथा $4$ हैं।
$\therefore \vec{b}=b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}=-3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
$\vec{b}$ का मान समी $(i)$ में रखने पर, $\vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+\lambda(-3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+4 \hat{{k}})$
जोकि अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर जाने वाली तथा सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है,
$\vec{r}= \vec{a} + \lambda\vec{b}$
$\therefore \vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+\lambda\left(\mathrm{b}_{1} \hat{{i}}+\mathrm{b}_{2} \hat{{j}}+\mathrm{b}_{3} \hat{{k}}\right) ...(i)$
दिए गए समतल के समीकरण निम्न है,
$\vec{r}(\hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}) = 5 ...(i$i)
तथा $\vec{r} \cdot(3 \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) = 6 ...(iii)$
चूँकि रेखा $(i)$ तथा समतल $(ii)$ समांतर है, अतः रेखा $(i)$ समतल के अभिलंब के लंबवत् होगी।
$\therefore (\hat{{i}}-\hat{{j}}+2 \hat{{k}}) \cdot \lambda\left(b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}\right) = 0$
$\Rightarrow \lambda(b_1 + b_2 + 2b_3) = 0 \Rightarrow (b_1 - b_2 + 2b_3) = 0 ...(iv)$
इसी प्रकार, $(3 \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \lambda\left(b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}\right) = 0$
$\Rightarrow \lambda(3b_1 + b_2 + b_3) = 0 \Rightarrow 3b_1 + b_2 + b_3 = 0 ...(v)$
समी $(iv)$ तथा $(v)$ से,
$\frac{b_{1}}{(-1) \times 1-1 \times 2}=\frac{b_{2}}{2 \times 3-1 \times 1}=\frac{b_{3}}{1 \times 1-3(-1)} \Rightarrow \frac{b_{1}}{-3}=\frac{b_{2}}{5}=\frac{b_{3}}{4} $
$\vec{b}$ के दिक् अनुपात $-3, 5$ तथा $4$ हैं।
$\therefore \vec{b}=b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}=-3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
$\vec{b}$ का मान समी $(i)$ में रखने पर, $\vec{r}=(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})+\lambda(-3 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+4 \hat{{k}})$
जोकि अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
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