तलों $x + y + z = 1$ और $2x + 3y + 4z = 5$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल $x - y + z = 0$ पर लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.3-11
Download our app for free and get started
दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है
$x + y + z - 1 + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$
$\Rightarrow (1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - 1 - 5\lambda = 0 ...(i)$
समतल पर अभिलंब के दिक् अनुपात $a_1, b_1, c_1$ क्रमशः $(2\lambda + 1), (3\lambda + 1)$ तथा $(4\lambda + 1) $हैं।
समतल $x - y + z = 0$ के दिक् अनुपात $a_2, b_2, c_2$ क्रमशः $ 1, -1$ तथा $1$ हैं।
चूँकि समतल लंबवत् हैं।
$\therefore a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$
$\Rightarrow 1(1 + 2\lambda) - 1(1 + 3\lambda) + 1(1 + 4\lambda) = 0$
$\Rightarrow 1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$\Rightarrow 3\lambda = -1$
$\Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3}$
$\lambda$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$\left(1-\frac{2}{3}\right) x+\left(1-\frac{3}{3}\right) y+\left(1-\frac{4}{3}\right) z-1+\frac{5}{3} = 0$
$\Rightarrow\frac{1}{3} x-\frac{1}{3} z+\frac{2}{3} = 0$
$\Rightarrow x - z + 2 = 0$
जो कि समतल का अभीष्ट समीकरण है।
$x + y + z - 1 + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$
$\Rightarrow (1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - 1 - 5\lambda = 0 ...(i)$
समतल पर अभिलंब के दिक् अनुपात $a_1, b_1, c_1$ क्रमशः $(2\lambda + 1), (3\lambda + 1)$ तथा $(4\lambda + 1) $हैं।
समतल $x - y + z = 0$ के दिक् अनुपात $a_2, b_2, c_2$ क्रमशः $ 1, -1$ तथा $1$ हैं।
चूँकि समतल लंबवत् हैं।
$\therefore a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$
$\Rightarrow 1(1 + 2\lambda) - 1(1 + 3\lambda) + 1(1 + 4\lambda) = 0$
$\Rightarrow 1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$\Rightarrow 3\lambda = -1$
$\Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3}$
$\lambda$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$\left(1-\frac{2}{3}\right) x+\left(1-\frac{3}{3}\right) y+\left(1-\frac{4}{3}\right) z-1+\frac{5}{3} = 0$
$\Rightarrow\frac{1}{3} x-\frac{1}{3} z+\frac{2}{3} = 0$
$\Rightarrow x - z + 2 = 0$
जो कि समतल का अभीष्ट समीकरण है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1दर्शाइए कि रेखाएँ $\frac{x+3}{-3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{5}$ तथा $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{5}$ सह$-$तलीय हैं।View Solution
- 2View Solutionसमतल 2x - 3y + 4z - 6 = 0 की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
- 3View Solutionउस तल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु (1, -1, 2) अंतर्विष्ट है और जो समतलों 2x + 3y - 2z = 5 और x + 2y - 3z = 8 में से प्रत्येक पर लंब है।
- 4View Solutionयदि O मूल बिंदु तथा बिंदु P के निर्देशांक (1, 2, -3), हैं तो बिंदु P से जाने वाले तथा OP के लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
- 5View Solutionबिंदुओं (3, -2, -5), और (3, -2, 6) से गुज़रने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।
- 6बिंदु $(1, 2, 3)$ से जाने वाली तथा समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7यदि बिंदु $(1, 1, p)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k}) + 13 = 0$ से समान दूरी पर स्थित हों, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8दो समतलों $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ के बीच का कोण सदिश विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9यदि एक समतल के अंतःखंड a, b, c हैं और इसकी मूल बिंदु से दूरी p इकाई हैं तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}$View Solution
- 10View Solutionबिंदु P(6, 5, 9) से बिंदुओं A(3, -1, 2), B(5, 2, 4) और C(-1, -1, 6) द्वारा निर्धारित समतल की दूरी ज्ञात कीजिए।