यदि बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3, -6)$ और $(2, 9, 2)$ हैं तो $AB$ और $CD$ रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-5
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दिया है, बिंदुओं $A, B, C$ तथा $D$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3, -6)$ तथा $(2, 9, 2)$ है।
$\therefore AB$ के दिक् अनुपात निम्न हैं$, (4 - 1), (5 - 2), (7 - 3) = (3, 3, 4)$
$CD$ के दिक् अनुपात निम्न हैं$, (2 + 4), (9 - 3), (2 + 6) = (6, 6, 8)$
माना $AB$ तथा $CD$ के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ तथा $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
तब$, \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, $$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
यहाँ, स्पष्ट है कि $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः रेखा $AB,$ रेखा $CD$ के समांतर है, अतः रेखा $AB$ तथा रेखा $CD$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
$\therefore AB$ के दिक् अनुपात निम्न हैं$, (4 - 1), (5 - 2), (7 - 3) = (3, 3, 4)$
$CD$ के दिक् अनुपात निम्न हैं$, (2 + 4), (9 - 3), (2 + 6) = (6, 6, 8)$
माना $AB$ तथा $CD$ के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ तथा $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
तब$, \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, $$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
यहाँ, स्पष्ट है कि $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः रेखा $AB,$ रेखा $CD$ के समांतर है, अतः रेखा $AB$ तथा रेखा $CD$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
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