बिंदु (5, 2, -4) से जाने वाली तथा सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ के समांतर रेखा का सदिश तथा कार्तीय समीकरणों को ज्ञात कीजिए।
example-6
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हमें ज्ञात है, कि $\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$
इसलिए, रेखा का सदिश समीकरण है: $\vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$ [($\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$) से]
चूँकि रेखा पर स्थित किसी बिंदु P(x, y, z) की स्थिति सदिश $\vec{r}$ है, इसलिए
$x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ $=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$
$=(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k}$
$\lambda$ का विलोपन करने पर हम पाते हैं कि $\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8}$ जो रेखा के समीकरण का कार्तीय रूप है।
इसलिए, रेखा का सदिश समीकरण है: $\vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$ [($\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$) से]
चूँकि रेखा पर स्थित किसी बिंदु P(x, y, z) की स्थिति सदिश $\vec{r}$ है, इसलिए
$x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ $=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$
$=(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k}$
$\lambda$ का विलोपन करने पर हम पाते हैं कि $\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8}$ जो रेखा के समीकरण का कार्तीय रूप है।
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