उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ = 7, $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})$ = 9 के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।
Exercise-11.3-10
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दिए गए समतलों के समीकरण निम्न हैं,
$\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})$ = 7 तथा $\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ = 9
इन समतल के समीकरणों को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है
$\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})$ - 7 = 0 ...(i)
तथा $\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - 9 = 0 ...(ii)
समतल (i) व (ii) के प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है
$[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})-7]+\lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - 9] = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot[(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})+\lambda(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})]$ = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot[(2+2 \lambda) \hat{{i}}+(2+5 \lambda) \hat{{j}}+(3 \lambda-3) \hat{{k}}]$ = 9$\lambda$ + 7 ...(iii)
चूँकि प्रतिच्छेदी समतल बिंदु (2, 1, 3), जिसका स्थिति सदिश $\vec{r}=2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+3 \hat{{k}}$ है, से होकर जाता है। अतः r का मान समी (iii) में रखने पर,
$(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+3 \hat{{k}}) \cdot[(2+2 \lambda) \hat{{i}}$ + $(2+5 \lambda) \hat{{j}}+(3 \lambda-3) \hat{{k}}]$ = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ 2(2 + 2$\lambda$) + (2 + 5$\lambda$) + 3(3$\lambda$ - 3) = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ (4 + 4$\lambda$) + (2 + 5$\lambda$) + (9$\lambda$ - 9) = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ - 3 + 18$\lambda$ = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ 9$\lambda$ = 10
$\Rightarrow \lambda=\frac{10}{9}$
$\lambda$ का मान समी (iii) में रखने पर,
$[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})-7]$ + $\frac{10}{9}[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})-9] $ = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot(18 \hat{{i}}+18 \hat{{j}}-27 \hat{{k}}-$ $63+20 \hat{{i}}+50 \hat{{j}}+30 \hat{{k}}-90)$ = 0
$\Rightarrow \vec{r} \cdot(38 \hat{{i}}+68 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}-153)$ = 0
$\Rightarrow \vec{r} \cdot(38 \hat{{i}}+68 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ = 153
जोकि अभीष्ट समतल का समीकरण है।
$\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})$ = 7 तथा $\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ = 9
इन समतल के समीकरणों को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है
$\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})$ - 7 = 0 ...(i)
तथा $\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - 9 = 0 ...(ii)
समतल (i) व (ii) के प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है
$[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})-7]+\lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - 9] = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot[(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})+\lambda(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})]$ = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot[(2+2 \lambda) \hat{{i}}+(2+5 \lambda) \hat{{j}}+(3 \lambda-3) \hat{{k}}]$ = 9$\lambda$ + 7 ...(iii)
चूँकि प्रतिच्छेदी समतल बिंदु (2, 1, 3), जिसका स्थिति सदिश $\vec{r}=2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+3 \hat{{k}}$ है, से होकर जाता है। अतः r का मान समी (iii) में रखने पर,
$(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}+3 \hat{{k}}) \cdot[(2+2 \lambda) \hat{{i}}$ + $(2+5 \lambda) \hat{{j}}+(3 \lambda-3) \hat{{k}}]$ = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ 2(2 + 2$\lambda$) + (2 + 5$\lambda$) + 3(3$\lambda$ - 3) = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ (4 + 4$\lambda$) + (2 + 5$\lambda$) + (9$\lambda$ - 9) = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ - 3 + 18$\lambda$ = 9$\lambda$ + 7
$\Rightarrow $ 9$\lambda$ = 10
$\Rightarrow \lambda=\frac{10}{9}$
$\lambda$ का मान समी (iii) में रखने पर,
$[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}})-7]$ + $\frac{10}{9}[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})-9] $ = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot(18 \hat{{i}}+18 \hat{{j}}-27 \hat{{k}}-$ $63+20 \hat{{i}}+50 \hat{{j}}+30 \hat{{k}}-90)$ = 0
$\Rightarrow \vec{r} \cdot(38 \hat{{i}}+68 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}-153)$ = 0
$\Rightarrow \vec{r} \cdot(38 \hat{{i}}+68 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ = 153
जोकि अभीष्ट समतल का समीकरण है।
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