समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ - 4 = 0 और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ + 8 = 0 के लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-17
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दिए गए समतल निम्न हैं
$\vec{r} \cdot(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - 4 = 0 ...(i)
$\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}})$ + 5 = 0 ...(ii)
तथा $\vec{r} \cdot(5 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}-6 \hat{{k}})$ + 8 = 0 ...(iii)
समतल (i) तथा (ii) के प्रतिच्छेद समतल का समीकरण निम्न है
$[\vec{r} \cdot(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})-4]+\lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}})]$ + 5 = 0
$\Rightarrow$ $[\vec{r} \cdot(1+2 \lambda) \hat{{i}}+(2+\lambda) \hat{{j}}$$+(3-\lambda) \hat{{k}}]+(5 \lambda-4)$ = 0 ...(iv)
चूँकि यह समतल, समतल (iii) के लंबवत् है।
$\therefore$ 5(1 + 2$\lambda$) + 3(2 + $\lambda$) - 6(3 - $\lambda$) = 0
$\Rightarrow$ 19$\lambda$ = 7
$\Rightarrow \lambda=\frac{7}{19}$
$\lambda$ का मान समी (iv) में रखने पर,
$\vec{r} \cdot\left[\left(1+\frac{14}{19}\right) \hat{{i}}+\left(2+\frac{7}{19}\right) \hat{{j}}+\left(3-\frac{7}{19}\right) \hat{{k}}\right]+\frac{35}{19} $ - 4 = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot\left[\left(\frac{33}{19}\right) \hat{{i}}+\left(\frac{45}{19}\right) \hat{{j}}+\left(\frac{50}{19}\right) \hat{{k}}\right]-\frac{41}{19}$ = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot(33 \hat{{i}}+45 \hat{{j}}+50 \hat{{k}})$ - 41 = 0 ...(v)
जोकि अभीष्ट समतल का सदिश समीकरण है।
$\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}} $ समी (v) में रखने पर समतल का कार्तीय समीकरण निम्न है,
$(x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}) \cdot(33 \hat{{i}}+45 \hat{{j}}+50 \hat{{k}})$ - 41 = 0
$\Rightarrow$ 33x + 45y + 50z - 41 = 0
$\vec{r} \cdot(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - 4 = 0 ...(i)
$\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}})$ + 5 = 0 ...(ii)
तथा $\vec{r} \cdot(5 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}-6 \hat{{k}})$ + 8 = 0 ...(iii)
समतल (i) तथा (ii) के प्रतिच्छेद समतल का समीकरण निम्न है
$[\vec{r} \cdot(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})-4]+\lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}})]$ + 5 = 0
$\Rightarrow$ $[\vec{r} \cdot(1+2 \lambda) \hat{{i}}+(2+\lambda) \hat{{j}}$$+(3-\lambda) \hat{{k}}]+(5 \lambda-4)$ = 0 ...(iv)
चूँकि यह समतल, समतल (iii) के लंबवत् है।
$\therefore$ 5(1 + 2$\lambda$) + 3(2 + $\lambda$) - 6(3 - $\lambda$) = 0
$\Rightarrow$ 19$\lambda$ = 7
$\Rightarrow \lambda=\frac{7}{19}$
$\lambda$ का मान समी (iv) में रखने पर,
$\vec{r} \cdot\left[\left(1+\frac{14}{19}\right) \hat{{i}}+\left(2+\frac{7}{19}\right) \hat{{j}}+\left(3-\frac{7}{19}\right) \hat{{k}}\right]+\frac{35}{19} $ - 4 = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot\left[\left(\frac{33}{19}\right) \hat{{i}}+\left(\frac{45}{19}\right) \hat{{j}}+\left(\frac{50}{19}\right) \hat{{k}}\right]-\frac{41}{19}$ = 0
$\Rightarrow$ $\vec{r} \cdot(33 \hat{{i}}+45 \hat{{j}}+50 \hat{{k}})$ - 41 = 0 ...(v)
जोकि अभीष्ट समतल का सदिश समीकरण है।
$\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}} $ समी (v) में रखने पर समतल का कार्तीय समीकरण निम्न है,
$(x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}) \cdot(33 \hat{{i}}+45 \hat{{j}}+50 \hat{{k}})$ - 41 = 0
$\Rightarrow$ 33x + 45y + 50z - 41 = 0
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