बिंदु P(6, 5, 9) से बिंदुओं A(3, -1, 2), B(5, 2, 4) और C(-1, -1, 6) द्वारा निर्धारित समतल की दूरी ज्ञात कीजिए।
example-28
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मान लीजिए कि समतल में तीन बिंदु A, B, तथा C हैं। बिंदु P से समतल पर लंब का पाद D है। हमें अभीष्ट दूरी PD ज्ञात करनी है जहाँ PD, $ \vec{AP}$ का $\vec{AB} \times \vec{AC}$ पर प्रक्षेप है।
अतः PD = $\vec{AB} \times \vec{AC}$ के अनुदिश इकाई सदिश तथा $ \vec{AP}$ का अदिश गुणनफल है।
पुनः $ \vec{AP}$ = $3 \hat{i}+6 \hat{j}+7 \hat{k}$
और $\vec{{AB}} \times \vec{{AC}}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & 4 \end{array}\right|$ $=12 \hat{i}-16 \hat{j}+12 \hat{k}$
$\vec{{AB}} \times \vec{{AC}}$ के अनुदिश इकाई सदिश $=\frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}}{\sqrt{34}}$
अतः $\vec{{PD}}=(3 \hat{i}+6 \hat{j}+7 \hat{k}) \cdot \frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}}{\sqrt{34}}$
= $\frac{3 \sqrt{34}}{17}$
अतः PD = $\vec{AB} \times \vec{AC}$ के अनुदिश इकाई सदिश तथा $ \vec{AP}$ का अदिश गुणनफल है।
पुनः $ \vec{AP}$ = $3 \hat{i}+6 \hat{j}+7 \hat{k}$
और $\vec{{AB}} \times \vec{{AC}}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & 4 \end{array}\right|$ $=12 \hat{i}-16 \hat{j}+12 \hat{k}$
$\vec{{AB}} \times \vec{{AC}}$ के अनुदिश इकाई सदिश $=\frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}}{\sqrt{34}}$
अतः $\vec{{PD}}=(3 \hat{i}+6 \hat{j}+7 \hat{k}) \cdot \frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}}{\sqrt{34}}$
= $\frac{3 \sqrt{34}}{17}$
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