यदि बिंदु $(1, 1, p)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k}) + 13 = 0$ से समान दूरी पर स्थित हों, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-14
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बिंदु $(1, 1, p)$ की समतल $\vec{r} \cdot(3 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}-12 \hat{{k}}) + 13 = 0$ या $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से दूरी निम्न है,
$d_{1}=\left|\frac{3 \times 1+4 \times 1-12 \times p+13}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{3+4-12 p+13}{\sqrt{169}}\right|=\left|\frac{20-12 p}{13}\right| ...(i)$
बिंदु $(-3, 0, 1)$ की समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से दूरी निम्न है,
$d_{2}=\left|\frac{3 \times(-3)+4 \times 0-12 \times 1+13}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{-9+0-12+13}{\sqrt{169}}\right|=\left|\frac{-8}{13}\right|=\frac{8}{13}$
प्रश्नानुसार $d_1 = d_2$
$\Rightarrow\left|\frac{20-12 p}{13}\right|=\frac{8}{13} $
$\Rightarrow \frac{20-12 p}{13}=\pm \frac{8}{13}$
धनात्मक चिन्ह लेने पर, $\frac{20-12 p}{13}=\frac{8}{13}$
$\Rightarrow 20 - 12p = 8$
$\Rightarrow 12p = 12$
$\Rightarrow p = 1$
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर, $\frac{20-12 p}{13}=\frac{8}{13}$
$\Rightarrow20 - 12p = -8$
$\Rightarrow 12p = 28$
$\Rightarrow p = \frac{28}{12}=\frac{7}{3}$
$d_{1}=\left|\frac{3 \times 1+4 \times 1-12 \times p+13}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{3+4-12 p+13}{\sqrt{169}}\right|=\left|\frac{20-12 p}{13}\right| ...(i)$
बिंदु $(-3, 0, 1)$ की समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से दूरी निम्न है,
$d_{2}=\left|\frac{3 \times(-3)+4 \times 0-12 \times 1+13}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}}\right|$
$=\left|\frac{-9+0-12+13}{\sqrt{169}}\right|=\left|\frac{-8}{13}\right|=\frac{8}{13}$
प्रश्नानुसार $d_1 = d_2$
$\Rightarrow\left|\frac{20-12 p}{13}\right|=\frac{8}{13} $
$\Rightarrow \frac{20-12 p}{13}=\pm \frac{8}{13}$
धनात्मक चिन्ह लेने पर, $\frac{20-12 p}{13}=\frac{8}{13}$
$\Rightarrow 20 - 12p = 8$
$\Rightarrow 12p = 12$
$\Rightarrow p = 1$
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर, $\frac{20-12 p}{13}=\frac{8}{13}$
$\Rightarrow20 - 12p = -8$
$\Rightarrow 12p = 28$
$\Rightarrow p = \frac{28}{12}=\frac{7}{3}$
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