धातु से बनी एक खुली बाल्टी शंकु के एक छिन्नक के आकार की है, जो उसी धातु के बने एक खोखले बेलनाकार आधार पर आरोपित है $($देखिए आकृति$)$। इस बाल्टी के दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास $45 \ cm$ और $25 \ cm$ हैं तथा बाल्टी की कुल ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $40 \ cm$ और बेलनाकार आधार की ऊँचाई $6 \ cm$ है। इस बाल्टी को बनाने में प्रयुक्त धातु की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि हम बाल्टी की मुठिया $($या हत्थे$)$ को इसमें सम्मिलित नहीं कर रहे हैं। साथ ही, उस पानी का आयतन ज्ञात कीजिए जो इस बाल्टी में धारण कर सकता है। $\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए
example-14
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बाल्टी की कुल ऊँचाई $= 40 \ cm$ है, जिसमें आधार की ऊँचाई भी सम्मिलित है। इसलिए शंकु के छिन्नक की ऊँचाई $(40 - 6) \ cm = 34 \ cm$ है।
अतः, शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}$
जहाँ $r_1 = 22.5 \ cm, r_2 = 12.5 \ cm$ और $h = 34 \ cm$
अतः $l = \sqrt{34^{2}+(22.5-12.5)^{2}} cm$
$= \sqrt{34^{2}+10^{2}} = 35.44 \ cm$
इसमें प्रयुक्त धातु की चादर का क्षेत्रफल $=$ शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल
$+$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= [\pi \times 35.44 (22.5 = 12.5) + \pi \times (12.5)^2 + 2\pi \times 12.5 \times 6] \ cm^2$
$= \frac{22}{7}[1240.4 + 156.25 + 150] \ cm^2$
$= 4860.9 \ cm^2$
अब, बाल्टी में आ सकने वाले पानी का आयतन, जिसे बाल्टी की धारिता भी कहते हैं $= \frac{\pi \times h}{3} \times\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)$
$= \frac{22}{7} \times \frac{34}{3} \times [(22.5)2 + (12.5)2 + 22.5 \times 12.5] \ cm^2$
$= \frac{22}{7} \times \frac{34}{3} \times 943.75 = 33615.48 \ cm^3$
$= 33.62 लीटर ($लगभग$)$
अतः, शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}$
जहाँ $r_1 = 22.5 \ cm, r_2 = 12.5 \ cm$ और $h = 34 \ cm$
अतः $l = \sqrt{34^{2}+(22.5-12.5)^{2}} cm$
$= \sqrt{34^{2}+10^{2}} = 35.44 \ cm$
इसमें प्रयुक्त धातु की चादर का क्षेत्रफल $=$ शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल
$+$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= [\pi \times 35.44 (22.5 = 12.5) + \pi \times (12.5)^2 + 2\pi \times 12.5 \times 6] \ cm^2$
$= \frac{22}{7}[1240.4 + 156.25 + 150] \ cm^2$
$= 4860.9 \ cm^2$
अब, बाल्टी में आ सकने वाले पानी का आयतन, जिसे बाल्टी की धारिता भी कहते हैं $= \frac{\pi \times h}{3} \times\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)$
$= \frac{22}{7} \times \frac{34}{3} \times [(22.5)2 + (12.5)2 + 22.5 \times 12.5] \ cm^2$
$= \frac{22}{7} \times \frac{34}{3} \times 943.75 = 33615.48 \ cm^3$
$= 33.62 लीटर ($लगभग$)$
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