एक शंकु के छिन्नक, जो $45 \ cm$ ऊँचा है, के सिरों की त्रिज्याएँ $28 \ cm$ और $7 \ cm$ हैं। इसका आयतन, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए$)$
example-12
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इस छिन्नक को दो लंब वृत्तीय शंकुओं $\text{OAB}$ और $\text{OCD}$ के अंतर के रूप में देखा जा सकता है $($देखिए आकृति$)$। मान लीजिए सेंटीमीटर में शंकु $\text{OAB}$ की ऊँचाई $h_1$ है और तिर्यक ऊँचाई $l_1$ है, अर्थात् $OP = h_1$ और $OA = OB = l_1$ है। मान लीजिए शंकु $\text{OCD}$ की सेंटीमीटर में ऊँचाई $h_2$ और तिर्यक ऊँचाई $l_2$ है।
हमें $r_1 = 28 \ cm, r_2 = 7 \ cm$ और छिन्नक की ऊँचाई $(h) = 45 \ cm$ दिए हुए हैं। साथ ही
$h_1 = 45 + h_2 ....(i)$
सबसे पहले हमें क्रमशः शंकुओं $\text{OAB}$ और $\text{OCD}$ की ऊँचाइयों $h_1$ और $h_2$ को निर्धारित करना आवश्यक है।
चूँकि त्रिभुज $\text{OPB}$ और $\text{OQD}$ समरूप हैं $($क्यों?$),$ इसलिए हमें प्राप्त है:
$\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{28}{7}=\frac{4}{1} ....(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से हमें $h_2 = 15$ और $h_1 = 60$ प्राप्त होता है अब, छिन्नक का आयतन
$=$ शंकु $\text{OAB}$ का आयतन $-$ शंकु $\text{OCD}$ का आयतन
$= \left[\frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot(28)^{2} \cdot(60)-\frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot(7)^{2} \cdot(15)\right] cm^3 = 48510 \ cm^3$
शंकु $\text{OAB}$ तथा शंकु $\text{OCD}$ की तिर्यक ऊँचाइयाँ क्रमशः $l_1$ और $l_2$ नीचे दर्शाए अनुसार प्राप्त होती हैं:
$l_2 = \sqrt{(7)^{2}+(15)^{2}} = 16.55 \ cm ($लगभग$)$
$l_1 = \sqrt{(28)^{2}+(60)^{2}}$
$=4 \sqrt{(7)^{2}+(15)^{2}} $
$= 4 \times 16.55 = 66.20 \ cm$
इस प्रकार छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r_{1} l_{1}-\pi r_{2} l_{2}$
$= \frac{22}{7}(28)(66.20)-\frac{22}{7}(7)(16.55) $
$= 5461.5 \ cm^2$
अब, छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+ \pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}$
$= 5461.5 \ cm^2 + \frac{22}{7}(28)^{2} \mathrm{~cm}^{2}+\frac{22}{7}(7)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
$= 5461.5 \ cm^2 + 2464 \ cm^2 + 154 \ cm^2 $
$= 8079.5 \ cm^2$
हमें $r_1 = 28 \ cm, r_2 = 7 \ cm$ और छिन्नक की ऊँचाई $(h) = 45 \ cm$ दिए हुए हैं। साथ ही
$h_1 = 45 + h_2 ....(i)$
सबसे पहले हमें क्रमशः शंकुओं $\text{OAB}$ और $\text{OCD}$ की ऊँचाइयों $h_1$ और $h_2$ को निर्धारित करना आवश्यक है।
चूँकि त्रिभुज $\text{OPB}$ और $\text{OQD}$ समरूप हैं $($क्यों?$),$ इसलिए हमें प्राप्त है:
$\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{28}{7}=\frac{4}{1} ....(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से हमें $h_2 = 15$ और $h_1 = 60$ प्राप्त होता है अब, छिन्नक का आयतन
$=$ शंकु $\text{OAB}$ का आयतन $-$ शंकु $\text{OCD}$ का आयतन
$= \left[\frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot(28)^{2} \cdot(60)-\frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot(7)^{2} \cdot(15)\right] cm^3 = 48510 \ cm^3$
शंकु $\text{OAB}$ तथा शंकु $\text{OCD}$ की तिर्यक ऊँचाइयाँ क्रमशः $l_1$ और $l_2$ नीचे दर्शाए अनुसार प्राप्त होती हैं:
$l_2 = \sqrt{(7)^{2}+(15)^{2}} = 16.55 \ cm ($लगभग$)$
$l_1 = \sqrt{(28)^{2}+(60)^{2}}$
$=4 \sqrt{(7)^{2}+(15)^{2}} $
$= 4 \times 16.55 = 66.20 \ cm$
इस प्रकार छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r_{1} l_{1}-\pi r_{2} l_{2}$
$= \frac{22}{7}(28)(66.20)-\frac{22}{7}(7)(16.55) $
$= 5461.5 \ cm^2$
अब, छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+ \pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}$
$= 5461.5 \ cm^2 + \frac{22}{7}(28)^{2} \mathrm{~cm}^{2}+\frac{22}{7}(7)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
$= 5461.5 \ cm^2 + 2464 \ cm^2 + 154 \ cm^2 $
$= 8079.5 \ cm^2$
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