दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमशः 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50, और 40 क्विंटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को / से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
Miscellaneous Exercise-6
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मान लीजिए भंडार A, दुकानों D तथा E को क्रमशः x क्विंटल तथा y क्विंटल अन्न उपलब्ध कराता हैं, तो दुकान F को (100 - x - y) क्विंटल अन्न उपलब्ध कराएगा दुकान D पर 60 क्विंटल अन्न की आवश्यकता है। चूँकि भंडार A से x क्विंटल अन्न उपलब्ध कराया जाता है। अतः शेष (60-x) क्विंटल अन्न भंडार B से उपलब्ध कराया जाता है। इसी प्रकार; (50 - y) क्विंटल अन्न तथा [40 - (100 - x - y)] =(x + y - 60) क्विंटल अन्न भंडार B से क्रमशः दुकानों E तथा F को उपलब्ध कराता है। दी गई समस्या को निम्न ग्राफ द्वारा निरूपित किया जा सकता है। मान लीजिए परिवहन की कुल लागत Z है।
अतः हमको उद्देश्य फलन
Z = 6x + 3y + 2.50(100 - x - y) + 4(60 - x) + 2(50 - y) + 3(x + y) - 60)
= 6x + 3y + 250 - 2.5x - 2.5y + 240 - 4x + 100 - 2y + 3x + 3y - 180
= 2.50x + 1.50y + 410 ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
60 - x $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\leq$ 60 ...(ii)
50 - y $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ y $\leq$ 50 ...(iii)
100 - (x + y) $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\leq$ 100 ...(iv)
x + y - 60 $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\geq$ 60 ...(v)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(vi)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 100 का ग्राफ खींचते हैं।
अतः हमको उद्देश्य फलन
Z = 6x + 3y + 2.50(100 - x - y) + 4(60 - x) + 2(50 - y) + 3(x + y) - 60)
= 6x + 3y + 250 - 2.5x - 2.5y + 240 - 4x + 100 - 2y + 3x + 3y - 180
= 2.50x + 1.50y + 410 ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
60 - x $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\leq$ 60 ...(ii)
50 - y $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ y $\leq$ 50 ...(iii)
100 - (x + y) $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\leq$ 100 ...(iv)
x + y - 60 $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\geq$ 60 ...(v)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(vi)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 100 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 100 |
| y | 100 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 100 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 100 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 100 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x = 60 का ग्राफ खींचते है।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 60 में रखने पर, 0 $\leq$ 60 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब; रेखा x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 60 |
| y | 60 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 60 में रखने पर, 0 + 0 $\geq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 60 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरित ओर होगा।
अब, रेखा y = 50 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका y $\leq$ 50 में रखने पर 0 $\leq$ 50 प्राप्त होता है। (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा। समीकरणों के प्रतिच्छेद बिंदु A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50) तथा D(10, 50) प्राप्त होते हैं। अतः सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50) तथा D(10, 50) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 2.5x + 1.5y + 410 |
| A(60, 0) | 560 |
| B(60, 40) | 620 |
| C(50, 50) | 610 |
| D(10, 50) | 510 $\rightarrow$ निम्नतम |
Z का निम्नतम मान बिंदु D(10, 50) पर 510 है। अतः भंडार A से दुकान D, E तथा F को क्रमशः 10 क्विंटल, 50 क्विंटल तथा 40 क्विंटल अन्न उपलब्ध कराया जाता है तथा B से दुकान E तथा F का क्रमशः 50 क्विंटल, 0 क्विंटल तथा 0 क्विंटल अन्न उपलब्ध कराया जाता है, तो निम्नतम लागत ₹ 510 होती है।
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x + 3y $\leq$ 60 ...(i)
x + y $\geq$ 10 ...(ii)
x $\leq$ y ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
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