एक आहारविद् दो भोज्यों P और Q का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है। भोज्य P का प्रत्येक पैकेट (जिसमें 30 ग्राम अंतर्विष्ट है) में कैल्शियम के 12 मात्रक लौह तत्व के 4 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 6 मात्रक और विटामिन A के 6 मात्रक अंतर्विष्ट हैं जबकि उसी मात्र के भोज्य Q के पैकेट में कैल्शियम तत्व के 3 मात्रक, लौह तत्व के 20 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 4 मात्रक और विटामिन A के 3 मात्रक अंतर्विष्ट है। आहार में कम से कम 240 मात्रक कैल्शियम, लौह तत्व के कम से कम 460 मात्रक, और कोलेस्ट्रोल के अधिक से अधिक 300 मात्रक अपेक्षित हैं। प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग किया जाए ताकि आहार में विटामिन A की आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
Miscellaneous Exercise-1
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मान लीजिए आहारविद् भोज्य P के x पैकेज तथा भोज्य Q के y पैकेज तैयार करता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| भोज्य | पैकेज की संख्या | कैल्शियम की मात्रा | लौह-तत्व की मात्रा | कोलेस्ट्रोल की मात्रा | विटामिन A की मात्रा |
| P | x | 12x | 4x | 6x | 6x |
| Q | y | 3y | 20y | 4y | 3y |
| कुल | x + y | 12x + 3y | 4x + 20y | 6x + 4y | 6x + 3y |
| आवश्यकता | कम-से-कम 240 | कम-से-कम 460 | अधिक-से-अधिक 300 |
अतः हमको उद्देश्य फलन z = 6x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
12x + 3y $\geq$ 240 $\Leftrightarrow$ 4x + y $\geq$ 80 ...(ii)
4x + 20y $\geq$ 460 $\Leftrightarrow$ x + 5y $\geq$ 115 ...(iii)
6x + 4y $\leq$ 300 $\Leftrightarrow$ 3x + 2y $\leq$ 150 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 4x + y = 80 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 20 | 0 |
| y | 0 | 80 |
(0, 0) असमिका 4x + y $\geq$ 80 में रखने पर, 4 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 80 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 80 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + 5y = 115 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 115 |
| y | 23 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 5y $\geq$ 115 में रखने पर,
0 + 5 $\times$ 0 $\geq$ 115 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 115 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 2y = 150 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 50 | 0 |
| y | 0 | 75 |
(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 150 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 150 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 150 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर स्थित है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थाश में सिथत है। समीकरण 4x + y = 80 तथा x + 5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु A(15, 20) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 3x + 2y = 150 तथा x + 5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B(40, 15) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(15, 20), B(40, 15) तथा C(2, 72) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 6x + 3y |
| A(15, 20) | 150 |
| B(40, 15) | 285 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(2, 72) | 228 |
अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 15) पर 285 है। अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा प्राप्त करने के लिए भोज्य P के 40 पैकेज तथा भोज्य Q के 15 पैकेज तैयार करने चाहिए। अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा 285 है।
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