एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (किग्रा में) सारणी में दिया गया हैं परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम-से-कम 250 किग्रा फास्फोरिक अम्ल, कम-से-कम 270 किग्रा पोटाश और क्लोरीन की अधिक-से-अधिक 310 किग्रा की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है, तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए। मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है, तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए। मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
| kg प्रति थैला | ||
| ब्राँड P | ब्राँड Q | |
| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
| फास्फोरिक अम्ल | 1 | 2 |
| पोटाश | 3 | 1.5 |
| क्लोरीन | 1.5 | 2 |
Miscellaneous Exercise-9
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मान लीजिए ब्रांड P के x थैले तथा ब्रांड Q के y थैले प्रयोग किए जाते हैं, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| उर्वरक के ब्रांड | थैलों की संख्या | नाइट्रोजन की मात्रा | फास्फोरिक अम्ल की मात्रा | पोटाश की मात्रा | क्लोरीन की मात्रा |
| P | x | 3x | 1x | 3x | 1.5x |
| Q | y | 3.5y | 2y | 1.5y | 2y |
| कुल | x + y | 3x + 3.5y | x + 2y | 3x + 1.5y | 1.5x + 2y |
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 3x + 3.5y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 240 ...(ii)
3x + 1.5y $\geq$ 270 ...(iii)
1.5x + 2y $\leq$ 310 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 240 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 240 |
| y | 120 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 240 में रखने पर
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 240 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 240 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 1.5y = 270 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 90 |
| y | 180 | 0 |
(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 270 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 270 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 270 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 1.5x + 2y = 310 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | $\frac{620}{3}$ |
| y | 155 | 0 |
(0, 0) असमिका 1.5x + 2y $\leq$ 310 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 310 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 310 (जोकि सत्य हैं)
अतः रेखा 3x + 1.5y = 270 तथा 1.5x + 2y = 310 का प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 140), रेखा 1.5x + 2y = 310 तथा x + 2y = 240 का प्रतिच्छेद बिंदु A(140, 50) तथा रेखा x + 2y = 240 तथा 3x + 1.5y = 270 का प्रतिच्छेद बिंदु C(40, 100) है।
चूँकि, x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु C(40, 100), A(140, 50) तथा B(20, 140) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 3x + 3.5y |
| A(140, 50) | 595 $\rightarrow$ निम्नतम |
| B(20, 140) | 550 |
| C(40, 100) | 470 |
Z का अधिकतम मान बिंदु A(140, 50) पर 595 प्राप्त होता है। अतः बाग में मिलाई गई नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 किग्रा प्राप्त करने के लिए P ब्रांड के 140 थैले तथा Q ब्रांड के 50 थैले प्रयोग करने चाहिए।
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