एक आहारविद् दो प्रकार के भोज्यों X और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A, की कम से कम 10 मात्रक, विटामिन B की कम से कम 12 मात्रक और विटामिन C की 8 मात्रक हों 1 kg भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है।
| भोज्य | विटामिन A | विटामिन B | विटामिन C |
| X | 1 | 2 | 3 |
| Y | 2 | 2 | 1 |
भोज्य X के 1 kg का मूल्य ₹16 और भोज्य y के 1 kg का मूल्य ₹20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-3
Download our app for free and get started
मान लीजिए भोज्य X का x किग्रा और भोज्य Y का y किग्रा मिलाया जाता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है
| भोज्य | मात्रा | विटामिन A | विटामिन B | विटामिन C | लागत |
| X | x किग्रा | x | 2x | 3x | 16x |
| Y | y किग्रा | 2y | 2y | y | 20y |
| कुल | (x + y) किग्रा | x + 2y | 2x + 2y | 3x + y | 16x + 20y |
| निम्नतम आवश्यकता | 10 | 12 | 8 |
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 16x + 20y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 10 ...(ii)
2x + 2y $\geq$ 12 $\Leftrightarrow$ x + y $\geq$ 6 ...(iii)
3x + y $\geq$ 8 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, x + 2y = 10 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 10 |
| y | 5 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 10 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 10 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + y = 6 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 6 |
| y | 6 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 6 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + y = 8 का ग्राफ खींचते हैं,
| x | 0 | $\frac{8}{3}$ |
| y | 8 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 8 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 8 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 8 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0 अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण x + y = 6 तथा x + 2y = 10 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 4) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 3x + y = 8 तथा x + y = 6 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(1, 5) प्राप्त होता है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(10, 0), B(2, 4), C(1, 5) तथा D(0, 8) है। अतः इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 16x + 20y |
| A(10, 0) | 160 |
| B(2, 4) | 112 $\rightarrow$ निम्नतम |
| C(1, 5) | 116 |
| D(0, 8) | 160 |
चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अतः Z का निम्नतम मान 112 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका 16x + 20y < 112 या 4x + 5y < 28 का ग्राफ खींचते हैं और परीश्रण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ है या नहीं है। स्पष्ट है कि यहाँ कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है। अतः Z का निम्नतम मान बिंदु B(2, 4) पर 112 है। अतः निम्नतम लागत 112 प्राप्त करने के लिए भोज्य X के 2 किग्रा तथा भोज्य Y के 4 किग्रा का मिश्रण प्राप्त करना चाहिए।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1View Solutionएक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (किग्रा में) सारणी में दिया गया हैं परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम-से-कम 250 किग्रा फास्फोरिक अम्ल, कम-से-कम 270 किग्रा पोटाश और क्लोरीन की अधिक-से-अधिक 310 किग्रा की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है, तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए। मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
kg प्रति थैला ब्राँड P ब्राँड Q नाइट्रोजन 3 3.5 फास्फोरिक अम्ल 1 2 पोटाश 3 1.5 क्लोरीन 1.5 2 - 2View Solutionएक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से ₹17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर ₹7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
- 3ग्राफ़ीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:View Solution
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x + y $\leq$ 4, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 - 4View Solutionएक आहारविद् दो भोज्यों P और Q का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है। भोज्य P का प्रत्येक पैकेट (जिसमें 30 ग्राम अंतर्विष्ट है) में कैल्शियम के 12 मात्रक लौह तत्व के 4 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 6 मात्रक और विटामिन A के 6 मात्रक अंतर्विष्ट हैं जबकि उसी मात्र के भोज्य Q के पैकेट में कैल्शियम तत्व के 3 मात्रक, लौह तत्व के 20 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 4 मात्रक और विटामिन A के 3 मात्रक अंतर्विष्ट है। आहार में कम से कम 240 मात्रक कैल्शियम, लौह तत्व के कम से कम 460 मात्रक, और कोलेस्ट्रोल के अधिक से अधिक 300 मात्रक अपेक्षित हैं। प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग किया जाए ताकि आहार में विटामिन A की आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
- 5दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।View Solution
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x - y $\leq$ -1, -x + y $\leq$ 0, x, y $\geq$ 0 - 6View Solutionएक खिलौना कंपनी, A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कंपनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमशः ₹12 और ₹16 का लाभ कमाती है, लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए।
- 7ग्राफ़ीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:View Solution
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 8, 3x + 2y $\leq$ 12, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 - 8View Solutionएक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर-एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी कीमतें क्रमशः ₹25,000 और ₹40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागार अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए ₹70 लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ ₹4500 और पोर्टेबल नमूने पर ₹5000 लाभ हो।
- 9View Solutionएक कुटीर उद्योग निर्माता पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैंप के निर्माण में 2 घंटे रगड़ने/काटने और 3 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घंटा रगडने/काटने और 2 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घंटे और रगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घंटे के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री पर ₹5 और एक शेड की बिक्री पर ₹3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते है, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतम हो?
- 10View Solutionएक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
दूरियाँ (km में) को/से A B D 7 3 E 6 4 F 3 2 यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?