ग्राफ़ीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 8, 3x + 2y $\leq$ 12, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 8, 3x + 2y $\leq$ 12, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
Exercise-12.1-2
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हमको उद्देश्य फलन
Z = -3x + 4y ...(i)
का निम्न व्यतरोधों के अंतर्गत अधिकतम मान ज्ञात करना है।
x + 2y $\leq$ 8 ...(ii)
3x + 2y $\leq$ 12 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम रेखा x + 2y = 8 का ग्राफ खींचते हैं।
Z = -3x + 4y ...(i)
का निम्न व्यतरोधों के अंतर्गत अधिकतम मान ज्ञात करना है।
x + 2y $\leq$ 8 ...(ii)
3x + 2y $\leq$ 12 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम रेखा x + 2y = 8 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 8 |
| y | 4 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 8 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 8 $\Rightarrow $ 0 $\leq$ 8 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर स्थित है।
चूँकि, x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
अब, रेखा 3x + 2y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 8 |
| y | 6 | 0 |
(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 12 में रखने पर,
3 $\times$ 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
समीकरण x + 2y = 8 तथा 3x + 2y = 12 को हल करने पर, x = 2 तथा y = 3 प्राप्त होता है।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 3) है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(4, 0), B(2, 3) तथा (0, 4) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = -3x + 4y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(4, 0) | -12 $\rightarrow$ अधिकतम |
| B(2, 3) | 6 |
| C(0, 4) | 16 |
अतः Z का निम्नतम मान -12 है जोकि बिंदु A(4, 0) पर प्राप्त होता है।
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