एक कुटीर उद्योग निर्माता पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैंप के निर्माण में 2 घंटे रगड़ने/काटने और 3 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घंटा रगडने/काटने और 2 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घंटे और रगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घंटे के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री पर ₹5 और एक शेड की बिक्री पर ₹3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते है, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतम हो?
Exercise-12.2-6
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मान लीजिए एक निर्माणकर्ता प्रत्येक दिन x पैडेस्टल लैंप तथा y लकड़ी के शेड बनाता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| प्रकार | संख्या | रगड़ने/काटने की मशीन का समय (घंटे में) | स्प्रेयर का समय (घंटे में) | लाभ (₹ में) |
| A | x | 2x | 3x | 5x |
| B | y | y | 2y | 3y |
| कुल | x + y | 2x + y | 3x + 2y | 5x + 3y |
| उपलब्धता | 12 | 20 |
लैंप पर ₹5 तथा शेड पर ₹3 का लाभ प्राप्त होता है।
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 5x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
2x + y $\leq$ 12 ...(ii)
3x + 2y $\leq$ 20 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सबसे पहले रेखा 2x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 6 |
| y | 12 | 0 |
(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 12 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 12
$\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा 3x + 2y = 20 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | $\frac{20}{3}$ = 6.6 |
| y | 10 | 0 |
(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 20 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 20 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 20 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 2x + y = 12 तथा 3x + 2y = 20 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 4) प्राप्त होता है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(6, 0), B(4, 4) तथा C(0, 10) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 5x + 3y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(6, 0) | 30 |
| B(4, 4) | 32 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(0, 10) | 30 |
Z का बिंदु B(4, 4) पर अधिकतम मान ₹32 है। अतः अधिकतम लाभ कमाने के लिए निर्माणकर्ता को 4 पैडेस्टल लैंप तथा 4 लकडी के शेड उत्पादित करने चाहिए।
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