एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
| दूरियाँ (km में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
Miscellaneous Exercise-7
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मान लीजिए डिपो A से x तथा y लीटर पेट्रोल क्रमश: पेट्रोल पंप D तथा E को उपलब्ध कराया जाता है तब डिपो A से (100 - x - y) लीटर पेट्रोल, पेट्रोल पंप F को उपलब्ध करया जाएगा।
पेट्रोल पंप D को 4500 लीटर पेट्रोल की आवश्यकता है। चूँकि डिपो A से x लीटर पेट्रोल उपलब्ध कराया जाता है। अतः शेष (4500-x) लीटर पेट्रोल डिपो B से उपलब्ध कराया जाएगा। इसी प्रकार, डिपो B से (300 - y) लीटर तथा [3500 - (7000 - x - y) = x + y - 3500] लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप E तथा F को उपलब्ध कराया जाएगा। दी गई समस्या निम्न ग्राफ द्वारा निरूपित किया गया है।
$\because$ 10 लीटर की परिवहन लागत ₹1 प्रति किमी है।
$\therefore$ 1 लीटर की परिवहन लागत $\frac{1}{10}$ प्रति किमी है।
मान लीजिए Z कुल परिवहन लागत है।
Z = $\frac{7}{10} x+\frac{6}{10} y+\frac{3}{10}$ (7000 - x - y) + $\frac{3}{10}$ (4500 - x) + $\frac{4}{10}$ (3000 - y) + $\frac{2}{10}$ (x + y - 3500)
= 0.3x + 0.1y = 3950
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 0.3x + 0.1y + 3950 ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
4500 - x $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\leq$ 4500 ...(ii)
3000 - y $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ y $\leq$ 3000 ...(iii)
x + y - 3500 $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\geq$ 3500 ...(iv)
7000 - x - y $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\leq$ 7000 ...(v)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(vi)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 7000 का ग्राफ खींचते हैं।
पेट्रोल पंप D को 4500 लीटर पेट्रोल की आवश्यकता है। चूँकि डिपो A से x लीटर पेट्रोल उपलब्ध कराया जाता है। अतः शेष (4500-x) लीटर पेट्रोल डिपो B से उपलब्ध कराया जाएगा। इसी प्रकार, डिपो B से (300 - y) लीटर तथा [3500 - (7000 - x - y) = x + y - 3500] लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप E तथा F को उपलब्ध कराया जाएगा। दी गई समस्या निम्न ग्राफ द्वारा निरूपित किया गया है।
$\because$ 10 लीटर की परिवहन लागत ₹1 प्रति किमी है।
$\therefore$ 1 लीटर की परिवहन लागत $\frac{1}{10}$ प्रति किमी है।
मान लीजिए Z कुल परिवहन लागत है।
Z = $\frac{7}{10} x+\frac{6}{10} y+\frac{3}{10}$ (7000 - x - y) + $\frac{3}{10}$ (4500 - x) + $\frac{4}{10}$ (3000 - y) + $\frac{2}{10}$ (x + y - 3500)
= 0.3x + 0.1y = 3950
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 0.3x + 0.1y + 3950 ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
4500 - x $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\leq$ 4500 ...(ii)
3000 - y $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ y $\leq$ 3000 ...(iii)
x + y - 3500 $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\geq$ 3500 ...(iv)
7000 - x - y $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ x + y $\leq$ 7000 ...(v)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(vi)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 7000 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 7000 |
| y | 7000 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 7000 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 100 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 7000 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x = 4500 का ग्राफ खीचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 4500 में रखने पर,
0 $\leq$ 4500 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतिल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x + y = 3500 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 3500 | 0 |
| y | 0 | 3500 |
(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 3500 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 3500 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3500 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा y = 3000 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका y $\leq$ 3000 में रखने पर,
0 $\leq$ 3000 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा। समीकरणों के प्रतिच्छेद बिंदु C(4500, 2500), D(4500, 3000) तथा E(500, 3000) प्राप्त होते हैं।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCDEA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(3500, 0), B(4500, 0), C(4500, 2500), D(4500, 3000) तथा E(500, 3000) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 0.3x + 0.1y + 3950 |
| A(3500, 0) | 5000 |
| B(4500, 0) | 5300 |
| C(4500, 2500) | 5550 |
| D(4500, 3000) | 5600 |
| E(500, 3000) | 4400 $\rightarrow$ निम्नतम |
अतः Z का निम्नतम मान बिंदु E(500, 3000) पर 4400 प्राप्त होता है। अतः निम्नतम परिवहन लागत प्राप्त करने के लिए डिपो A से 500 लीटर, 3000 लीटर तथा 3500 लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप D, E तथा F को उपलब्ध कराना चाहिए तथा डिपो B से 4000 लीटर 0 लीटर तथा 0 लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप D, E तथा F को उपलब्ध कराना चाहिए।
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