दो बिंदुओं P$(2 \vec{a}+\vec{b})$ और Q$(\vec{a}-3 \vec{b})$ को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात मे बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिंदु P रेखाखंड RQ का मध्य बिंदु है।
Miscellaneous Exercise-9
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दिया है कि, $\vec{OP}$ = 2$\vec{a}$ + $\vec{b}$, $\vec{OQ}$ = $\vec{a}$ - 3$\vec{b}$
यदि एक बिंदु P तथा Q से मिलाने वाली रेखा को m : n के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, तब बिंदु का स्थिति सदिश
होता है। यहाँ दिया हुआ है कि दो बिंदु P तथा Q को मिलाने वाली रेखाखंड एक बिंदु R को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजन करता है। तब अत सूत्र का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं
बिंदु R का स्थिति सदिश = $\frac{(\vec{a}-3 \vec{b}) \times 1-(2 \vec{a}+\vec{b}) \times 2}{1-2}$
= $\frac{\vec a-3 \vec b-4 \vec a-2 \vec b}{-1}$ = $\frac{-3 \vec a -5 \vec b}{-1}$ = 3$\vec{a}$ + 5$\vec{b}$
अब, RQ के मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश
= $\frac{\vec{OQ}+\vec{OR}}{2}$ = $\frac{(3\vec{a}+5\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})}{2}$ = $\frac{4\vec{a}+2\vec{b}}{2}$ = 2$\vec{a}$ + $\vec{b}$
जोकि बिंदु P का भी स्थिति सदिश है।
P = 2a + b
यह दर्शाता है कि रेखाखण्ड RQ का मध्य-बिंदु P है।
यदि एक बिंदु P तथा Q से मिलाने वाली रेखा को m : n के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, तब बिंदु का स्थिति सदिश
होता है। यहाँ दिया हुआ है कि दो बिंदु P तथा Q को मिलाने वाली रेखाखंड एक बिंदु R को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजन करता है। तब अत सूत्र का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं
बिंदु R का स्थिति सदिश = $\frac{(\vec{a}-3 \vec{b}) \times 1-(2 \vec{a}+\vec{b}) \times 2}{1-2}$
= $\frac{\vec a-3 \vec b-4 \vec a-2 \vec b}{-1}$ = $\frac{-3 \vec a -5 \vec b}{-1}$ = 3$\vec{a}$ + 5$\vec{b}$
अब, RQ के मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश
= $\frac{\vec{OQ}+\vec{OR}}{2}$ = $\frac{(3\vec{a}+5\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})}{2}$ = $\frac{4\vec{a}+2\vec{b}}{2}$ = 2$\vec{a}$ + $\vec{b}$
जोकि बिंदु P का भी स्थिति सदिश है।
P = 2a + b
यह दर्शाता है कि रेखाखण्ड RQ का मध्य-बिंदु P है।
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