सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का, सदिशों $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ के बराबर है तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-13
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मान लीजिए $\vec{a} = \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}, \vec{b} = 2 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$ तथा $\vec{c} = \lambda \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
अब$, \vec{b} + \vec{c} = 2 \hat{{i}}+4 \hat{{i}}-5 \hat{{k}} + \lambda \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}} = (2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
$\therefore |\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{(2+\lambda)^{2}+(6)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{4+\lambda^{2}+4 \lambda+36+4} = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}$
$(\vec{b} + \vec{c})$ के अनुदिश मात्रक सदिश अर्थात् $\frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}$
उपरोक्त मात्रक सदिश का सदिश $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})$ से अदिश गुणनफल 1 है।
$\therefore (\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = 1$
$\Rightarrow (\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \frac{(2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \frac{1(2+\lambda)+1(6)+1(-2)}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \frac{(2+\lambda)+6-2}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \lambda + 6 = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}$
$\Rightarrow (\lambda+6)^{2} = \lambda^2 + 4 \lambda + 44$
$\Rightarrow \lambda^2 + 12 \lambda + 36 = \lambda^2 + 4 \lambda + 44 $
$\Rightarrow 8 \lambda = 8 $
$\Rightarrow \lambda = 1$
अतः $\lambda$ का मान $1$ है।
अब$, \vec{b} + \vec{c} = 2 \hat{{i}}+4 \hat{{i}}-5 \hat{{k}} + \lambda \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}} = (2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
$\therefore |\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{(2+\lambda)^{2}+(6)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{4+\lambda^{2}+4 \lambda+36+4} = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}$
$(\vec{b} + \vec{c})$ के अनुदिश मात्रक सदिश अर्थात् $\frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}$
उपरोक्त मात्रक सदिश का सदिश $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})$ से अदिश गुणनफल 1 है।
$\therefore (\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = 1$
$\Rightarrow (\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \frac{(2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \frac{1(2+\lambda)+1(6)+1(-2)}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \frac{(2+\lambda)+6-2}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \lambda + 6 = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}$
$\Rightarrow (\lambda+6)^{2} = \lambda^2 + 4 \lambda + 44$
$\Rightarrow \lambda^2 + 12 \lambda + 36 = \lambda^2 + 4 \lambda + 44 $
$\Rightarrow 8 \lambda = 8 $
$\Rightarrow \lambda = 1$
अतः $\lambda$ का मान $1$ है।
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