यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ मात्रक सदिश इस प्रकार है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \overrightarrow{0}$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Exercise-10.3-13
Download our app for free and get started
दिया है$, |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1$ तथा $\vec a + \vec b + \vec c = 0$
$\because (\vec a + \vec b + \vec c) \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) + \vec b \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec a+ \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a+\vec c \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec c = 0$
$\Rightarrow |\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}+|\vec c|^{2} + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0\ (\because \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$ और $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a)$
$\Rightarrow 1 + 1 + 1 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0\ (\because |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1)$
$\Rightarrow 3 + 2\ (\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a = -\frac{3}{2}$
$\because (\vec a + \vec b + \vec c) \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) + \vec b \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec a+ \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a+\vec c \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec c = 0$
$\Rightarrow |\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}+|\vec c|^{2} + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0\ (\because \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$ और $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a)$
$\Rightarrow 1 + 1 + 1 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0\ (\because |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1)$
$\Rightarrow 3 + 2\ (\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a = -\frac{3}{2}$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का, सदिशों $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ के बराबर है तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2दर्शाइए कि बिंदु $A, B$ और $C,$ जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।View Solution
- 3एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ की लंब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ $\vec{a}$ = $3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}$ = $\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।View Solution
- 5View Solutionएक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C(1, 5, 5) हैं।
- 6यदि एक मात्रक सदिश $\vec{a}, \hat{i}$ के साथ $\frac{\pi}{3}, \hat{j}$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $\hat{k}$ साथ एक न्यून कोण $\theta$ बनाता है तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से $\vec{a}$ के घटक भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7दो बिंदुओं P$(2 \vec{a}+\vec{b})$ और Q$(\vec{a}-3 \vec{b})$ को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात मे बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिंदु P रेखाखंड RQ का मध्य बिंदु है।View Solution
- 8मान लीजिए $\vec{a}$ = $\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$, $\vec{b}$ = $3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\vec{c}$ = $2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}$ एक ऐसा सदिश $\vec{d}$ ज्ञात कीजिए जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों पर लंब है और $\vec{c} \cdot \vec{d}$ = 15.View Solution
- 9दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।View Solution
- 10दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है,View Solution
$\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लंबवत् हैं।