दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है,
$\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लंबवत् हैं।
$\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लंबवत् हैं।
Exercise-10.3-5
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मान लीजिए $\vec a$ = $\frac{1}{7}(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})$ = $\frac{2}{7} \hat{{i}}+\frac{3}{7} \hat{{j}}+\frac{6}{7} \hat{{k}}$
$\vec b$ = $\frac{1}{7}(3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ = $\frac{3}{7} \hat{{i}}-\frac{6}{7} \hat{{j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}$
तथा $\vec c$ = $\frac{1}{7}(6 \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-\hat{{k}})$ = $\frac{6}{7} \hat{{i}}+\frac{2}{7} \hat{{j}}-\frac{3}{7} \hat{{k}}$
तब $\vec a$ का परिमाण, |$\vec a$| = $\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
$\vec b$ का परिमाण, |$\vec b$| = $\sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
तथा $\vec c$ का परिमाण, |$\vec c$| = $\sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-3}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
अतः दिए गए सदिशों में से प्रत्येक एक मात्रक सदिश है।
$\vec a$ $\cdot$ $\vec b$ = $\left(\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}\right)$
= $\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+\frac{3}{7} \times$ $\left(\frac{-6}{7}\right)$ + $\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}$
= $\frac{6}{49}-\frac{18}{49}+\frac{12}{49}$ = $\frac{6-18+12}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec a$ तथा $\vec b$ एक-दूसरे के लंबवत् है।
$\vec b$ $\cdot$ $\vec c$ = $\left(\frac{3}{7} \hat{ {i}}-\frac{6}{7} \hat{ {j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{6}{7} \hat{ {i}}+\frac{2}{7} \hat{ {j}}-\frac{3}{7} \hat{ {k}}\right)$ = $\frac{3}{7} \times \frac{6}{7}$ + $\left(\frac{-6}{7}\right)$ $\times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times\left(\frac{-3}{7}\right)$
= $\frac{18}{49}-\frac{12}{49}-\frac{6}{49}$ = $\frac{18-12-6}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec b$ तथा $\vec c$ एक-दूसरे के लंबवत् है।
$\vec c$ $\cdot$ $\vec a$ = $\left(\frac{6}{7} \hat{{i}}+\frac{2}{7} \hat{{j}}-\frac{3}{7} \hat{{k}}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{2}{7} \hat{{i}}+\frac{3}{7} \hat{{j}}+\frac{6}{7} \hat{{k}}\right)$ = $\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7}$ $\times \frac{3}{7}+\left(\frac{-3}{7}\right)$ $\times \frac{6}{7} $
= $\frac{12}{49}+\frac{6}{49}-\frac{18}{49}$ = $\frac{12+6-18}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec c$ तथा $\vec a$ सदिश एक-दूसरे के लंबवत् हैं। अतः दिए गए तीनों सदिश एक-दूसरे के लंबवत् हैं।
$\vec b$ = $\frac{1}{7}(3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ = $\frac{3}{7} \hat{{i}}-\frac{6}{7} \hat{{j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}$
तथा $\vec c$ = $\frac{1}{7}(6 \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-\hat{{k}})$ = $\frac{6}{7} \hat{{i}}+\frac{2}{7} \hat{{j}}-\frac{3}{7} \hat{{k}}$
तब $\vec a$ का परिमाण, |$\vec a$| = $\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
$\vec b$ का परिमाण, |$\vec b$| = $\sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
तथा $\vec c$ का परिमाण, |$\vec c$| = $\sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-3}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
अतः दिए गए सदिशों में से प्रत्येक एक मात्रक सदिश है।
$\vec a$ $\cdot$ $\vec b$ = $\left(\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}\right)$
= $\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+\frac{3}{7} \times$ $\left(\frac{-6}{7}\right)$ + $\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}$
= $\frac{6}{49}-\frac{18}{49}+\frac{12}{49}$ = $\frac{6-18+12}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec a$ तथा $\vec b$ एक-दूसरे के लंबवत् है।
$\vec b$ $\cdot$ $\vec c$ = $\left(\frac{3}{7} \hat{ {i}}-\frac{6}{7} \hat{ {j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{6}{7} \hat{ {i}}+\frac{2}{7} \hat{ {j}}-\frac{3}{7} \hat{ {k}}\right)$ = $\frac{3}{7} \times \frac{6}{7}$ + $\left(\frac{-6}{7}\right)$ $\times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times\left(\frac{-3}{7}\right)$
= $\frac{18}{49}-\frac{12}{49}-\frac{6}{49}$ = $\frac{18-12-6}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec b$ तथा $\vec c$ एक-दूसरे के लंबवत् है।
$\vec c$ $\cdot$ $\vec a$ = $\left(\frac{6}{7} \hat{{i}}+\frac{2}{7} \hat{{j}}-\frac{3}{7} \hat{{k}}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{2}{7} \hat{{i}}+\frac{3}{7} \hat{{j}}+\frac{6}{7} \hat{{k}}\right)$ = $\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7}$ $\times \frac{3}{7}+\left(\frac{-3}{7}\right)$ $\times \frac{6}{7} $
= $\frac{12}{49}+\frac{6}{49}-\frac{18}{49}$ = $\frac{12+6-18}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec c$ तथा $\vec a$ सदिश एक-दूसरे के लंबवत् हैं। अतः दिए गए तीनों सदिश एक-दूसरे के लंबवत् हैं।
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