दर्शाइए कि बिंदु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) और C(11, 3, 7) संरेख है और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-8
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दिए गऐ बिंदु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) तथा C(11, 3, 7) है
$\vec{AB}$ = (B का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$
= (5 - 1)$ \hat{{i}}$ + (0+2)$ \hat{{j}}$ + (-2 + 8)$ \hat{{k}}$ = $4 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$
|$\vec{AB}$| = $\sqrt{4^{2}+2^{2}+6^{2}}$ = $\sqrt{16+4+36}$ = $\sqrt{56}$ = $2 \sqrt{14}$
$\vec{BC}$ = (C का स्थिति सदिश - B का स्थिति सदिश)
= $(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ - $(5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$
= (11 - 5)$ \hat{{i}}$ + (3 - 0)$ \hat{{j}}$ + (7 + 2)$ \hat{{k}}$ = $6 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+9 \hat{{k}}$
|$\vec{BC}$| = $\sqrt{6^{2}+3^{2}+9^{2}}$ = $\sqrt{36+9+81}$ = $\sqrt{126}$ = $3 \sqrt{14}$
$\vec{AC}$ = (C का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$
= (11 - 1)$ \hat{{i}}$ + (3 + 2)$ \hat{{j}}$ + (7 + 8)$ \hat{{k}}$ = $10 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+15 \hat{{k}}$
|$\vec{AC}$| = $\sqrt{10^{2}+5^{2}+15^{2}}$ = $\sqrt{100+25+225}$ = $\sqrt{350}$ = $5 \sqrt{14}$
$\therefore$ |$\vec{AC}$| = |$\vec{AB}$| + |$\vec{BC}$|
अतः दिए गए बिंदु A, B तथा C संरेख हैं।
मान लीजिए रेखा AC पर बिंदु P इस प्रकार है कि वह |AC| को $\lambda$ : 1 के अनुपात में विभक्त करता हैं, तब
P का स्थिति सदिश =
= $\frac{1}{\lambda+1}${$\lambda(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ + 1$(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$}
= $\left(\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}\right) \hat{i}$ + $\left(\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}\right) \hat{j}$ + $\left(\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}\right) \hat{k}$
बिंदु B रेखा AC पर है अर्थात् बिंदु B, A तथा C संरेख हैं।
यदि P = B($\lambda$ के एक अद्वितीय मान के लिए)
$\Rightarrow$ $\left(\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}\right) \hat{{i}}$ + $\left(\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}\right) \hat{{j}}$ + $\left(\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}\right) \hat{{k}}$ = $5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
$\Rightarrow$ $\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}$ = 5, $\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}$ = 0 तथा $\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}$ = -2
$\Rightarrow$ 11$ \lambda$ + 1 = 5$ \lambda$ + 5, 3$ \lambda$ = 2, 7$ \lambda$ -8 = -2$ \lambda$ -2
$\Rightarrow$ 6$ \lambda$ = 4, $ \lambda$ = $\frac23$, 9$ \lambda$ = 6 $\Rightarrow$ $ \lambda$ = $\frac23$
अतः A, B व C बिंदु संरेख हैं तथा बिंदु B, AC को $\frac{2}{3}$ : 1 के अनुपात में अर्थात् 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है।
$\vec{AB}$ = (B का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$
= (5 - 1)$ \hat{{i}}$ + (0+2)$ \hat{{j}}$ + (-2 + 8)$ \hat{{k}}$ = $4 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$
|$\vec{AB}$| = $\sqrt{4^{2}+2^{2}+6^{2}}$ = $\sqrt{16+4+36}$ = $\sqrt{56}$ = $2 \sqrt{14}$
$\vec{BC}$ = (C का स्थिति सदिश - B का स्थिति सदिश)
= $(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ - $(5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$
= (11 - 5)$ \hat{{i}}$ + (3 - 0)$ \hat{{j}}$ + (7 + 2)$ \hat{{k}}$ = $6 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+9 \hat{{k}}$
|$\vec{BC}$| = $\sqrt{6^{2}+3^{2}+9^{2}}$ = $\sqrt{36+9+81}$ = $\sqrt{126}$ = $3 \sqrt{14}$
$\vec{AC}$ = (C का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$
= (11 - 1)$ \hat{{i}}$ + (3 + 2)$ \hat{{j}}$ + (7 + 8)$ \hat{{k}}$ = $10 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+15 \hat{{k}}$
|$\vec{AC}$| = $\sqrt{10^{2}+5^{2}+15^{2}}$ = $\sqrt{100+25+225}$ = $\sqrt{350}$ = $5 \sqrt{14}$
$\therefore$ |$\vec{AC}$| = |$\vec{AB}$| + |$\vec{BC}$|
अतः दिए गए बिंदु A, B तथा C संरेख हैं।
मान लीजिए रेखा AC पर बिंदु P इस प्रकार है कि वह |AC| को $\lambda$ : 1 के अनुपात में विभक्त करता हैं, तब
P का स्थिति सदिश =
= $\frac{1}{\lambda+1}${$\lambda(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ + 1$(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$}
= $\left(\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}\right) \hat{i}$ + $\left(\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}\right) \hat{j}$ + $\left(\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}\right) \hat{k}$
बिंदु B रेखा AC पर है अर्थात् बिंदु B, A तथा C संरेख हैं।
यदि P = B($\lambda$ के एक अद्वितीय मान के लिए)
$\Rightarrow$ $\left(\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}\right) \hat{{i}}$ + $\left(\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}\right) \hat{{j}}$ + $\left(\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}\right) \hat{{k}}$ = $5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
$\Rightarrow$ $\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}$ = 5, $\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}$ = 0 तथा $\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}$ = -2
$\Rightarrow$ 11$ \lambda$ + 1 = 5$ \lambda$ + 5, 3$ \lambda$ = 2, 7$ \lambda$ -8 = -2$ \lambda$ -2
$\Rightarrow$ 6$ \lambda$ = 4, $ \lambda$ = $\frac23$, 9$ \lambda$ = 6 $\Rightarrow$ $ \lambda$ = $\frac23$
अतः A, B व C बिंदु संरेख हैं तथा बिंदु B, AC को $\frac{2}{3}$ : 1 के अनुपात में अर्थात् 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है।
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