दर्शाइए कि बिंदु $A, B$ और $C,$ जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
Exercise-10.2-17
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बिंदु $A, B$ तथा $C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं
$\vec a = 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}, \vec b = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$ और $\vec c = \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$
अब$, \vec {AB} = \vec b - \vec a = (B$ का स्थिति सदिश $-A$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec b - \vec a = [(2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) - (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})] = -\hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$
उपरोक्त की $\vec X = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}},$ से तुलना करने पर,
$x = -1, y = 3, z = 5$
$\therefore AB$ का परिमाण$, |\vec {AB}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \sqrt{(-1)^{2}+(3)^{2}+(5)^{2}}$
$\therefore |\vec {AB}|^2 = 35$
इसी प्रकार$, \vec {BC} = \vec c - \vec b = (C$ का स्थिति सदिश $-B$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec c - \vec b = (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) = -\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-6 \hat{{k}}$
इसी प्रकार$, |\vec {BC}| = \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}}$
$\Rightarrow |\vec {BC}|^2 = 41$
तथा $\vec {CA} = \vec a - \vec c = (A$ का स्थिति सदिश $-C$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec a - \vec c = (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}
|\vec {CA}| = \sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$\Rightarrow |CA|^2 = 6$
अब, हम ज्ञात करते हैं। $|\vec {AB}|^2 + |\vec {CA}|^2 = 35 + 6 = 41 = |\vec {BC}|^2$
अत: \triangleABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका $\angle A$ एक समकोण है।
$\vec a = 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}, \vec b = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$ और $\vec c = \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$
अब$, \vec {AB} = \vec b - \vec a = (B$ का स्थिति सदिश $-A$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec b - \vec a = [(2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) - (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})] = -\hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$
उपरोक्त की $\vec X = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}},$ से तुलना करने पर,
$x = -1, y = 3, z = 5$
$\therefore AB$ का परिमाण$, |\vec {AB}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \sqrt{(-1)^{2}+(3)^{2}+(5)^{2}}$
$\therefore |\vec {AB}|^2 = 35$
इसी प्रकार$, \vec {BC} = \vec c - \vec b = (C$ का स्थिति सदिश $-B$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec c - \vec b = (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) = -\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-6 \hat{{k}}$
इसी प्रकार$, |\vec {BC}| = \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}}$
$\Rightarrow |\vec {BC}|^2 = 41$
तथा $\vec {CA} = \vec a - \vec c = (A$ का स्थिति सदिश $-C$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec a - \vec c = (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}
|\vec {CA}| = \sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$\Rightarrow |CA|^2 = 6$
अब, हम ज्ञात करते हैं। $|\vec {AB}|^2 + |\vec {CA}|^2 = 35 + 6 = 41 = |\vec {BC}|^2$
अत: \triangleABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका $\angle A$ एक समकोण है।
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