एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-10
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एक समांतर चतुर्भुज की सलंग्न भुजाएँ इस प्रकार दी गई है कि, $\vec{a}$ = $2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}$ = $\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ तब समांतर चतुर्भुज का विकर्ण, $\vec{v}$ = $\vec{a}+\vec{b}$
$\because$ चित्र से यह स्पष्ट है कि समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाओं का परिणामी, इसके विकर्ण द्वारा प्रदर्शित है।
$\therefore$ $\vec{v}$ = $2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$ + $\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ = $(2+1) \hat{{i}}+(-4-2) \hat{{j}}+(5-3) \hat{{k}}$ = $3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec{X}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर हम प्राप्त करते हैं,
x = 3, y = -6, z = 2
$\therefore$ |$\vec{v}$| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ = $\sqrt{(3)^{2}+(-6)^{2}+(2)^{2}}$ = $\sqrt{9+36+4}$ = $\sqrt{49}$ = 7
अतः विकर्ण के समांतर मात्रक सदिश = $\frac{{\vec{v}}}{|\vec{v}|}$ = $\frac{3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}}{7}$ = $\frac{3}{7} \hat{{i}}-\frac{6}{7} \hat{{j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}$
तथा समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल,
|$\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$| = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right|$ = |$\hat{{i}}$(12 + 10) - $\hat{{j}}$(-6 - 5) + $\hat{{k}}$(-4 + 4)|
= |$22 \hat{{i}}+11 \hat{{k}}+0 \hat{{k}}$| = $\sqrt{(22)^{2}+(11)^{2}+0^{2}}$
= $\sqrt{(11)^{2}\left(2^{2}+1^{2}\right)}$ = $11 \sqrt{5}$ वर्ग इकाई
$\because$ चित्र से यह स्पष्ट है कि समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाओं का परिणामी, इसके विकर्ण द्वारा प्रदर्शित है।
$\therefore$ $\vec{v}$ = $2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$ + $\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ = $(2+1) \hat{{i}}+(-4-2) \hat{{j}}+(5-3) \hat{{k}}$ = $3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec{X}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर हम प्राप्त करते हैं,
x = 3, y = -6, z = 2
$\therefore$ |$\vec{v}$| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ = $\sqrt{(3)^{2}+(-6)^{2}+(2)^{2}}$ = $\sqrt{9+36+4}$ = $\sqrt{49}$ = 7
अतः विकर्ण के समांतर मात्रक सदिश = $\frac{{\vec{v}}}{|\vec{v}|}$ = $\frac{3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}}{7}$ = $\frac{3}{7} \hat{{i}}-\frac{6}{7} \hat{{j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}$
तथा समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल,
|$\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$| = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right|$ = |$\hat{{i}}$(12 + 10) - $\hat{{j}}$(-6 - 5) + $\hat{{k}}$(-4 + 4)|
= |$22 \hat{{i}}+11 \hat{{k}}+0 \hat{{k}}$| = $\sqrt{(22)^{2}+(11)^{2}+0^{2}}$
= $\sqrt{(11)^{2}\left(2^{2}+1^{2}\right)}$ = $11 \sqrt{5}$ वर्ग इकाई
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