दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
Exercise-10.3-17
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मान लीजिए $\vec{A} = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}, \vec{B} = \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$ तथा $\vec{C} = 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}$
$\therefore$ भुजा $AB = B$ का स्थिति सदिश$ - A$ का स्थिति सदिश
$= (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$
$= \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}} - 2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}} $
$= -\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-6 \hat{{k}}$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$
$\vec{BC} = C$ का स्थिति सदिश $- B$ का स्थिति सदिश
$= (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}})$
$= 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}} - \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}} $
$= 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
तथा $AC = C$ का स्थिति सदिश $- A$ का स्थिति सदिश
$= (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) $
$= 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}} - 2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}} $
$= \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$
तथा $|\vec{AC}| = \sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$
अब, $|\vec{BC}|^2 + |\vec{AC}|^2 = 6 + 35 = 41 = |\vec{AB}|^2$
जो यह प्रदर्शित करता हैं कि $\text{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है।
$\therefore$ भुजा $AB = B$ का स्थिति सदिश$ - A$ का स्थिति सदिश
$= (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$
$= \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}} - 2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}} $
$= -\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-6 \hat{{k}}$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$
$\vec{BC} = C$ का स्थिति सदिश $- B$ का स्थिति सदिश
$= (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}})$
$= 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}} - \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}} $
$= 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
तथा $AC = C$ का स्थिति सदिश $- A$ का स्थिति सदिश
$= (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) $
$= 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}} - 2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}} $
$= \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$
तथा $|\vec{AC}| = \sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$
अब, $|\vec{BC}|^2 + |\vec{AC}|^2 = 6 + 35 = 41 = |\vec{AB}|^2$
जो यह प्रदर्शित करता हैं कि $\text{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है।
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