मान लीजिए सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ क्रमश: $a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$, $b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$, $c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$ के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})$ = $\vec{a} \times \vec{b}$ + $\vec{a} \times \vec{c}$
Exercise-10.4-7
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दिया है, $\vec{a}$ = $a_{1} \hat{{i}}+a_{2} \hat{{j}}+a_{3} \hat{{k}}$, $\vec{b}$ = $b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}$
तथा $\vec{c}$ = $c_{1} \hat{\mathbf{i}}+c_{2} \hat{{j}}+c_{3} \hat{{k}}$
अब,
$\vec{b}$ + $\vec{c}$ = $\left(b_{1}+c_{1}\right) \hat{{i}}$ + $\left(b_{2}+c_{2}\right) \hat{{j}}$ + $\left(b_{3}+c_{3}\right) \hat{{k}}$
$\therefore$ $\vec{a}$ $\times$ ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & b_{3}+c_{3} \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right| $ + $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$ ...(i) (सारणिक के गुणधर्म द्वारा)
अब, $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ = $\left|\begin{array}{lll} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$ तथा $\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$ = $\left|\begin{array}{lll} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$
$\therefore$ ( $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$) + ($\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$) = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$ + $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$ ...(ii)
समी. (i) तथा (ii)से, $\vec{a}$ $\times$ ($\vec{b}$ $\times$ $\vec{c}$) = $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ + $\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$
तथा $\vec{c}$ = $c_{1} \hat{\mathbf{i}}+c_{2} \hat{{j}}+c_{3} \hat{{k}}$
अब,
$\vec{b}$ + $\vec{c}$ = $\left(b_{1}+c_{1}\right) \hat{{i}}$ + $\left(b_{2}+c_{2}\right) \hat{{j}}$ + $\left(b_{3}+c_{3}\right) \hat{{k}}$
$\therefore$ $\vec{a}$ $\times$ ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & b_{3}+c_{3} \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right| $ + $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$ ...(i) (सारणिक के गुणधर्म द्वारा)
अब, $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ = $\left|\begin{array}{lll} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$ तथा $\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$ = $\left|\begin{array}{lll} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$
$\therefore$ ( $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$) + ($\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$) = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$ + $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$ ...(ii)
समी. (i) तथा (ii)से, $\vec{a}$ $\times$ ($\vec{b}$ $\times$ $\vec{c}$) = $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ + $\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$
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