यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ बराबर झुका हुआ है।
Miscellaneous Exercise-14
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दिया है, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $\vec{b} \cdot \vec{c}$ = $\vec{c} \cdot \vec{a}$ = 0 ($\because$ $\vec{a}$, $\vec{b}$ व c परस्पर लंबक्त् हैं।
यह भी दिया गया है कि |$\vec{a}$| = |$\vec{b}$| = |$\vec{c}$| (चूँकि सभी सदिशों का परिमाण बराबर है) मान लीजिए सदिश ($\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$) सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ क्रमशः $\alpha$, $\beta$ तथा $\gamma$ कोण बनाती हैं।
तब, $\cos \alpha=\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cdot|\vec{a}|}$ = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot a+\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$
= $\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}+0+0}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$ = $\frac{|\vec{a}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$ ($\because$$\vec{b} \cdot \vec{c}$ = $\vec{c} \cdot \vec{a}$ = 0)
= $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
cos $\beta$ = $\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| |\vec{b}|}$ = $\frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| |\vec{b}|}$
= $\frac{{\vec{b}} \cdot {\vec{b}}+0+0}{|{\vec{a}}+{\vec{b}}+{\vec{c}}||{\vec{b}}|}$ = $\frac{|{\vec{b}}|^{2}}{|{\vec{a}}+{\vec{b}}+{\vec{c}}||{\vec{b}}|}$ ($\because$ $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $\vec{c}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = 0)
= $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
$\cos \gamma$ = $\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$
= $\frac{\vec{c} \cdot \vec{c}+0+0}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ = $\frac{|\vec{c}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ ($\because$ $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c}$ = $\vec{b}$ $\cdot$ $\vec{c}$ = 0)
= $\frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
अब यदि |$\vec{a}$| = |$\vec{b}$| = |$\vec{c}$|, तब cos$ \alpha$ = cos$\beta$ = cos$ \gamma$
अतः सदिश ($\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$) $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ बराबर झुके हुए हैं।
यह भी दिया गया है कि |$\vec{a}$| = |$\vec{b}$| = |$\vec{c}$| (चूँकि सभी सदिशों का परिमाण बराबर है) मान लीजिए सदिश ($\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$) सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ क्रमशः $\alpha$, $\beta$ तथा $\gamma$ कोण बनाती हैं।
तब, $\cos \alpha=\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cdot|\vec{a}|}$ = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot a+\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$
= $\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}+0+0}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$ = $\frac{|\vec{a}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$ ($\because$$\vec{b} \cdot \vec{c}$ = $\vec{c} \cdot \vec{a}$ = 0)
= $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
cos $\beta$ = $\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| |\vec{b}|}$ = $\frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| |\vec{b}|}$
= $\frac{{\vec{b}} \cdot {\vec{b}}+0+0}{|{\vec{a}}+{\vec{b}}+{\vec{c}}||{\vec{b}}|}$ = $\frac{|{\vec{b}}|^{2}}{|{\vec{a}}+{\vec{b}}+{\vec{c}}||{\vec{b}}|}$ ($\because$ $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $\vec{c}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = 0)
= $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
$\cos \gamma$ = $\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$
= $\frac{\vec{c} \cdot \vec{c}+0+0}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ = $\frac{|\vec{c}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ ($\because$ $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c}$ = $\vec{b}$ $\cdot$ $\vec{c}$ = 0)
= $\frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
अब यदि |$\vec{a}$| = |$\vec{b}$| = |$\vec{c}$|, तब cos$ \alpha$ = cos$\beta$ = cos$ \gamma$
अतः सदिश ($\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$) $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ बराबर झुके हुए हैं।
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