मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : $\mathrm{A} \times \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{B} \times \mathrm{A}$, इस प्रकार कि f(a, b) = (b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
Exercise-1.2-8
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$f: A \times B \rightarrow B \times A$ में, $ f(a, b)=(b, a), \forall(a, b) \in A \times B$
द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए $\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right) \in A \times B$
इस प्रकार है कि $ f\left(a_{1}, b_{1}\right)=f\left(a_{2}, b_{2}\right) \Rightarrow\left(b_{1}, a_{1}\right)=\left(b_{2}, a_{2}\right)$
$\Rightarrow$ $ b_{1}=b_{2} $ तथा $a_{1}=a_{2}$
$\Rightarrow \left(a_{1}, b_{1}\right)=\left(a_{2}, b_{2}\right) \therefore f$ एकैकी फलन है।
पुनः प्रत्येक (a, b) $\in A \times$ B के लिए A $\times$ B में (b, a) इस प्रकार विद्यमान है कि
f(b, a) = (a, b) $\therefore$ f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए $\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right) \in A \times B$
इस प्रकार है कि $ f\left(a_{1}, b_{1}\right)=f\left(a_{2}, b_{2}\right) \Rightarrow\left(b_{1}, a_{1}\right)=\left(b_{2}, a_{2}\right)$
$\Rightarrow$ $ b_{1}=b_{2} $ तथा $a_{1}=a_{2}$
$\Rightarrow \left(a_{1}, b_{1}\right)=\left(a_{2}, b_{2}\right) \therefore f$ एकैकी फलन है।
पुनः प्रत्येक (a, b) $\in A \times$ B के लिए A $\times$ B में (b, a) इस प्रकार विद्यमान है कि
f(b, a) = (a, b) $\therefore$ f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
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