एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C(1, 5, 5) हैं।
Exercise-10.4-9
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एक त्रिभुज ABC जिसके शीर्ष इस प्रकार ज्ञात हैं, A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) तथा C(1, 5, 5) अतः पहले हम सदिश $\vec{AB}$ तथा $\vec{AC}$ को ज्ञात करेंगे।
अब, $\vec{AB}$ = (B का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
= $(2-1) \hat{{i}}+(3-1) \hat{{j}}$ + $(5-2) \hat{{k}}$ = $\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
तथा $\vec{AC}$ = (C का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(\hat{{i}}+5 \hat{{j}}+5 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ = $(1-1) \hat{{i}}+(5-1) \hat{{j}}+(5-2) \hat{{k}}$ = $4 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
$\therefore$ $\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$ = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{array}\right|$ = $\hat{{i}}(6-12)$ - $\hat{{j}}(3-0)+\hat{{k}}(4-0)$ = $-6 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec{X}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर, हम x = -6, y = -3, z = 4) प्राप्त करते है
$\therefore$ |$\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ = $\sqrt{(-6)^{2}+(-3)^{2}+(4)^{2}}$ = $\sqrt{36+9+16}$ = $\sqrt{61}$
$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$|$\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$| = $\frac{1}{2}$ $\times$ $\sqrt{61}$ = $\frac{\sqrt{61}}{2}$ (वर्ग इकाई)
अतः $\triangle$ ABC का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई है।
अब, $\vec{AB}$ = (B का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
= $(2-1) \hat{{i}}+(3-1) \hat{{j}}$ + $(5-2) \hat{{k}}$ = $\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
तथा $\vec{AC}$ = (C का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(\hat{{i}}+5 \hat{{j}}+5 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ = $(1-1) \hat{{i}}+(5-1) \hat{{j}}+(5-2) \hat{{k}}$ = $4 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
$\therefore$ $\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$ = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{array}\right|$ = $\hat{{i}}(6-12)$ - $\hat{{j}}(3-0)+\hat{{k}}(4-0)$ = $-6 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec{X}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर, हम x = -6, y = -3, z = 4) प्राप्त करते है
$\therefore$ |$\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ = $\sqrt{(-6)^{2}+(-3)^{2}+(4)^{2}}$ = $\sqrt{36+9+16}$ = $\sqrt{61}$
$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$|$\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$| = $\frac{1}{2}$ $\times$ $\sqrt{61}$ = $\frac{\sqrt{61}}{2}$ (वर्ग इकाई)
अतः $\triangle$ ABC का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई है।
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