यदि एक मात्रक सदिश $\vec{a}, \hat{i}$ के साथ $\frac{\pi}{3}, \hat{j}$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $\hat{k}$ साथ एक न्यून कोण $\theta$ बनाता है तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से $\vec{a}$ के घटक भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-10.4-3
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मान लीजिए $a$ मात्रक सदिश $\hat{\mathrm{i}}, \hat{{j}}$ तथा $\hat{{k}}$ के साथ क्रमश: $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ कोण बनाता है
तब$, \alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = \frac{\pi}{4}$ तथा $\gamma = \theta\ ($दिया है।$)$
$\therefore \cos ^{2} \frac{\pi}{3}+\cos ^{2} \frac{\pi}{4} + \cos^2 \theta = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \cos^2 \theta = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1 $
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} $
$\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} $
$\Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac12\ (\cos \theta \neq -\frac{1}{2}, \because \theta$ एक न्यून कोण हैं।$)$
$\Rightarrow \theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{3}\right)$
$\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$ तथा $a$ के घटक $\cos \frac{\pi}{3}, \cos \frac{\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{3}$ हैं।
$\Rightarrow \frac12, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}$
तब$, \alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = \frac{\pi}{4}$ तथा $\gamma = \theta\ ($दिया है।$)$
$\therefore \cos ^{2} \frac{\pi}{3}+\cos ^{2} \frac{\pi}{4} + \cos^2 \theta = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \cos^2 \theta = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1 $
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} $
$\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} $
$\Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac12\ (\cos \theta \neq -\frac{1}{2}, \because \theta$ एक न्यून कोण हैं।$)$
$\Rightarrow \theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{3}\right)$
$\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$ तथा $a$ के घटक $\cos \frac{\pi}{3}, \cos \frac{\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{3}$ हैं।
$\Rightarrow \frac12, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}$
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