दर्शाइए कि बिंदुओं $(4, 7, 8), (2, 3, 4)$ से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं $(-1, -2, 1), (1, 2, 5)$ से जाने वाली रेखा के समांतर है।
Exercise-11.2-3
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दिए गए बिंदु $A(4, 7, 8), B(2, 3, 4), C(-2, -2, 2)$ तथा $D(2, 2, 5)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ निम्न हैं $(2 - 4), (3 - 7), (4 - 8)$
$\Rightarrow (-2, -4, -4)$
$\therefore a_1 = -2, b_1 = -4, c_1 = -4$
रेखा $CD$ के दिक् अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ निम्न हैं $(1 + 1), (2 + 2), (5 - 1)$
$\Rightarrow (2, 4, 4)$
$\therefore a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = 4$
रेखा $AB, CD$ के समांतर होगी, यदि
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\Rightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{-2}{2}=-1, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{4}=-1$
तथा $\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{-4}{4} = -1$
$\therefore \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः $AB || CD$
रेखा $AB$ के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ निम्न हैं $(2 - 4), (3 - 7), (4 - 8)$
$\Rightarrow (-2, -4, -4)$
$\therefore a_1 = -2, b_1 = -4, c_1 = -4$
रेखा $CD$ के दिक् अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ निम्न हैं $(1 + 1), (2 + 2), (5 - 1)$
$\Rightarrow (2, 4, 4)$
$\therefore a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = 4$
रेखा $AB, CD$ के समांतर होगी, यदि
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\Rightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{-2}{2}=-1, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{4}=-1$
तथा $\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{-4}{4} = -1$
$\therefore \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः $AB || CD$
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